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一道初三的相似三角形的证明题
一道初三的相似三角形的证明题
昨晚，在给一位初三学生分析期中考试的试卷时，有这样的一道题。
在三角形ABC中，AD是边BC上的高，且满足AB×AD=BD×AC. (1) 证明: △ABC是直角三角形。（2）在线段AC的延长线上有一动点E，连接BE，过点A做BE的垂线AF，垂足为点F，连接DF。证明：BF×CE=BC×DF
第一小题呢，证直角三角形比较简单。
我们重点要看的是第二小题。首先呢，将乘积式写成比例式，我们分析应该是两个三角形相似，三角形BFD相似于三角形BCE,首先它们有一对公共角。其次我想证这一对钝角相等，就是角BFD等于角bce，
角BFD显然是一个直角加上一个小的角AFD，而外角角BFE呢，是由角BAC这个直角加上一个角ABC，那么如何证明它俩等呢？一看AB对着两个90°，就知道A、B、F、D四点共圆，所以弧AD所对的圆周角相等。那么显然角B就是等于角AFD的。可惜他们这里没有讲四点共圆。
所以呢，不要用这个方法证啊，走点弯路绕个圈子。换一个方法，就这样，三角形BGF与三角形AGD相似，对顶角、直角相似，对应边成比例。然后呢，把它转成三角形AGB与三角形DGF相似，对应角相等，所以仍然得到角B等于角AFD，证毕。
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