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数学真题17题:选好坐标,为什么可以暂时不管B

2026-11-15 01:05

2024年新课标Ⅰ卷数学第17题是一道四棱锥题。很多同学看到底面四个顶点，第一反应是把每个点的坐标都求出来。这篇重点讲第（2）问：建系时为什么让AC和AP做坐标轴，怎样让目标长度在方程里自然出现。先把原题条件分清，再动手计算。

原题的共同条件与两问如下，符号按原卷转写：

四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝√3。

（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；

（2）若AD⊥DC，且二面角A—CP—D的正弦值为√42/7，求AD。

第（1）问增加的是AD⊥PB，第（2）问增加的是AD⊥DC和二面角信息。两问各自回到共同条件，不能把上一问的附加条件继续当作下一问的已知。否则你可能算得更快，却是在解一道条件被改过的题。

先给第（1）问留一条完整依据：PA垂直底面，故AD⊥PA；结合AD⊥PB及PA、PB相交，得AD⊥平面PAB，因此AD⊥AB。又由AB²＋BC²＝AC²知AB⊥BC。AD、BC同在底面内且都垂直AB，所以AD∥BC；BC在平面PBC内，AD不在该平面内，于是所求线面平行成立。

回到第（2）问，此后不再使用AD⊥PB。下面的解法与所核对的参考解法所得AD＝√3一致，但选取了便于看清坐标用途的表达方式。

二面角A—CP—D的两个面是平面ACP与平面DCP，公共棱为CP。PA⊥底面，而AC在底面内，二者互相垂直且长度均已知。以A为原点，沿AC正向为x轴，沿AP正向为z轴，再在底面内选与AC垂直的方向为y轴，就得到直角坐标系。

于是A＝（0，0，0）、C＝（2，0，0）、P＝（0，0，2）。D在底面内，记作（x，y，0）。暂时不求B，不是忽略题目，而是此刻需要的两个面和目标AD都已经能用这些点表达。若某个步骤需要B，再把它引入即可，没必要为了坐标表看着完整而先做一轮无关计算。

题干与坐标选择，依原题条件准确整理

从D出发，向量DA＝（−x，−y，0），DC＝（2−x，−y，0）。AD⊥DC意味着这两个向量的点积为零，整理得到x²＋y²＝2x。左边恰好是AD²，因而目标长度已经藏在这个等式里。只要求出x，便能直接求AD，无须先分别解出x与y。

还要留意取值范围。四棱锥底面不退化，D不在AC直线上，故y≠0；由y²＝2x−x²＞0，可知0＜x＜2。这一范围既来自图形，也会保证后面约去的因子不为零。不能等到分母出现问题，才临时补一个限制。

平面ACP正是y＝0，取一个法向量n＝（0，1，0）。平面DCP中有CP＝（−2，0，2）和CD＝（x−2，y，0），取m＝（y，2−x，y）。分别点积检查，m与CP、CD都垂直，因此它确实是这个面的一个法向量。

这里容易把“看着像法向量”直接写进答案。实际检查只需两次点积：第一组为−2y＋2y＝0，第二组为y（x−2）＋（2−x）y＝0。由于y≠0，m也不为零。把这一步写清，后面的夹角计算才有可靠对象。

设两个法向量夹角为α。二面角与所取法向量的夹角可能相等，也可能互补，但余弦的平方相同。题目给的是二面角正弦，平方为42/49＝6/7，因此这里可用cos²α＝1/7，不必先靠示意图猜这个二面角究竟锐还是钝。

另一方面，由点积公式，cos²α等于（2−x）²除以“2y²＋（2−x）²”。代入y²＝2x−x²后，分母化为4−x²。利用0＜x＜2，约去一个2−x，得到cos²α＝（2−x）/（2＋x）。把空间角度转成这个单变量关系，才是这套建系真正省力的地方。

用垂直条件消去y，再由夹角平方确定x

为什么不能直接把正弦值代入法向量的点积公式？因为点积除以模长乘积，得到的是两个向量夹角的余弦。若把题给的正弦直接当成这个比值，后面的代数可能仍能算下去，却会得到另一套坐标。开始列式之前，先写明“我要算的是哪个角的什么函数”，比最后只看答案有没有根号更可靠。

为什么可以取这样一个m，而不必求唯一法向量？法向量只要求方向垂直于这个平面，两倍、三倍或反向的非零向量都可以。选择便于计算的一组分量就够了。若你算出的m与本文相差一个非零倍数，可以用点积检验，不必因为外形不同就把自己的过程全部擦掉。

还有一个值得检查的地方：把y的正负留到最后，并不等于默认D在坐标系的某一侧。推导中真正使用的是y²和夹角的余弦平方，两者都不受y变号影响。只有当问题要判断方向或特定角的余弦正负时，才需要进一步处理方向关系。这里问长度，用目前的信息已经足够。

令（2−x）/（2＋x）＝1/7，交叉相乘得到14−7x＝2＋x，所以x＝3/2。由前面的AD²＝2x，得到AD＝√3。长度取正根，不能把代数方程的正负两根一并交作答案。

顺着原条件回查，y²＝2×3/2−（3/2）²＝3/4，大于零，底面没有被算成退化情形；夹角余弦平方为1/7，对应的正弦平方也确为6/7。y取正或负只改变所选y轴下D的位置表示，不改变AD，因此不需要为了选一个正负号再另做复杂讨论。

这道题值得带走的，是变量与目标的配合。先认出二面角涉及的两个面，用已知垂直线建系；再把AD⊥DC翻成点积，发现AD²可以直接用x表示；最后用法向量夹角的平方避开互补角的符号问题。每一步都回应了原题一个条件，并没有把所有顶点算完才开始找答案。

独立复做时，可以先遮住法向量那一段，自己说明为什么B暂时不必出现，再验证m同时垂直两条相交方向。如果这两处能说清，留下来的就不只是“这题答案是√3”，而是你已经知道怎样为所求的量选择坐标。

来源：

无忧考网《2024年新课标I卷高考数学真题及答案（Word版）》，2024年6月10日；原卷预览第4—5页第17题：https://www.51test.net/show/11089755.html
中国教育在线《2024年高考新课标一卷数学真题及答案》，2024年6月12日；参考解答第11—12页，非官方评分细则：https://gaokao.eol.cn/shiti/sx/202406/t20240612_2616030_10.shtml
本文于2026年11月14日重新下载原题及参考图片、核对条件并独立验算。