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洛必达还是泰勒?用一道考研真题讲清楚

洛必达还是泰勒?用一道考研真题讲清楚

明明 tan x ∼ x，为什么算 x − tan x 时，直接替换就把答案算没了？用一道数二真题，讲清楚主项抵消之后该怎么看。大家好，我是霖霖。今天是「极限与连续」的第一篇，我们先做一道考研数学二的选择题。

当 x → 0 时，若 x − tan x 与 xᵏ 是同阶无穷小，则 k 等于多少？

A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4

看到 tan x，你是不是马上想到了 tan x ∼ x？

这个公式记得对。可如果直接把 tan x 换成 x，原式就变成了 x − x = 0。两个一阶项抵消之后，剩下的项才决定答案。

01｜用泰勒找出第一个没被抵消的项

题目问“同阶”。换成做题语言，就是找一个 k，使得当 x → 0 时，(x − tan x) ÷ xᵏ 趋于一个非零的有限常数。

把 tan x 展开到三阶：

tan x = x + x³/3 + o(x³)

代回去，一阶项抵消：

x − tan x = −x³/3 + o(x³)

第一个没被抵消的项是 −x³/3。所以 x − tan x 与 x³ 同阶，选 C。

遇到这类减法，可以先问自己一句：“我现在保留的项，代回去会不会抵消？”这道题只保留一阶，能看出差值比 x 更小，继续展开才能看出它是三阶。

02｜用洛必达，一次求导验证三阶

如果你已经猜到是三阶，可以看这个比值：

(x − tan x) ÷ x³

当 x → 0 时，这是 0/0 型。分子、分母在 0 附近可导，而且 x ≠ 0 时，分母的导数 3x² 不为 0。

分别求导，导数之比可以这样化简：

(1 − sec² x) ÷ (3x²)= −tan² x ÷ (3x²)= −(1/3) × (tan x ÷ x)²

因为 tan x ÷ x → 1，所以导数之比趋于 −1/3。根据洛必达法则，原比值也趋于 −1/3，三阶得证。

这道题用泰勒可以直接找出阶数，用洛必达可以一步验证三阶。 洛必达这一步之所以快，是因为求导后能用 1 − sec² x = −tan² x 化简。

03｜下次遇到极限题，怎么选方法？

  • 遇到乘积或商，如果能用等价无穷小简化某个因子，可以先做等价替换。
  • 遇到相减，如果低阶项会抵消，优先考虑泰勒，展开到第一个没被抵消的项。
  • 遇到 0/0 或 ∞/∞ 型的商，如果求导能明显简化，而且满足适用条件，可以用洛必达。每用一次，都重新检查条件。04｜把 tan 换成 sin，你还能看出阶数吗？

当 x → 0 时，x − sin x 是几阶无穷小？它的首项系数和刚才同号吗？

先自己试一下，再往下看。

sin x = x − x³/6 + o(x³)x − sin x = x³/6 + o(x³)

所以两者都是三阶，但首项系数一正一负：

x − sin x 的首项系数是 1/6。x − tan x 的首项系数是 −1/3。

下次碰到熟悉的等价公式，先看看它所在的式子。如果主项会抵消，就多保留几项，直到看见第一个没被抵消的项。

下一篇，我们来聊：极限都存在了，函数为什么还可能不连续？

我是霖霖，我们下篇见。

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