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高联真题精讲系列003|2024年全国高中数学联赛二试(A卷) 第4题

高联真题精讲系列003|2024年全国高中数学联赛二试(A卷) 第4题
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高联真题精讲系列003

设  为正整数,  是一些正整数构成的一个集合, 具有下述性质：(1) 对任意非负整数 , 有 ;(2) 若正整数 , 则  的每个正约数均属于 ;(3) 若 , 且  互素, 则 ;(4) 若 , 则 .证明: 与  互素的所有正整数均属于 .

解析

解析：先证明下述引理.引理: 若 , 则 .引理的证明: 对 , 设  是  的与  互素的最大约数, 并设 , 则  的素因子均整除 , 从而 .由条件 (1) 及 (2) 知, 对任意素数  及任意正整数 , 有 . 因此, 将  作标准分解, 并利用 (3) 知 . 又 , 而 , 故由 (2) 知 . 因 , 故由 (3) 知 , 即 .

再由 (4) 知  (对任意正整数 . 设 , 这里正整数  的所有素因子均整除 , 正整数  与  互素, 从而 . 由 (1) 及 (2) 知 （见上面  的证明）. 另一方面, 因 , 故由欧拉定理知 .

因此

引理证毕. 回到原问题. 由 (1), 取  知 , 故反复用引理知对任意正整数 , 有 .对任意 , 存在正整数  使得 , 因此 , 因 , 故 . 证毕.

本题来源：2024年全国高中数学联赛二试(A卷) 第4题

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