【教研赏析·第七期】研析真题悟本质,共赏压轴启思维——2027 届杭州一模第 19 题组合新定义压轴题

新高考背景下，数学压轴不再只是导数与解析几何的运算博弈。以情境为载体、以信息迁移为核心的组合新定义试题，正逐步走上模拟卷的舞台。本题以生活化的圆形项链为载体，把“任意分割、逐起点计数”这条看似简单的规则，做成了一条需要现场读懂—翻译—构造—验证的完整链条。

本文从命题立意、设问架构、试题内核、思辨商榷、教学落地五个维度展开研析；对官方答案以“类似 (2) 可证”一笔带过的第 (3) 问，补出完整论证，供课堂直接取用。

图 1 ｜ 新定义压轴题的三步方法框架：读题 · 推理 · 表达

IN THIS ISSUE　本期看点

CHAPTER 01 / 06

试题呈现

THE PROBLEM

先把 12 颗珠子读成一条环形字符串——题目读懂一半，剩下的只是数数。

ORIGINAL QUESTION　·　组合新定义压轴

一个圆形项链有 m×n（m, n∈N*）颗珠子，每颗为红色 R 或蓝色 B。若任意将这串项链分割成 m 段，每段连续 n 颗珠子，各段中红色珠子的个数互不相同，则称这项链为(m, n)-好分链，数对 (m, n) 为分链数对。

核心审题陷阱

关键词是“任意”。不是“存在某一种分割”，而是环形项链每一个起始位置进行分割，都必须保证 m 段红珠数目两两互不相同。把“任意”读成“存在”的学生，会在第 (1) 问就判错，在第 (3) 问则整题跑偏——这是本题最高频的丢分点，也是它最锋利的地方。

CHAPTER 02 / 06

官方参考答案

OFFICIAL SOLUTION

官方答案给的是骨架；考场上要拿分，得把骨架长成关节。

评分点很密：第 (1) 问 4 分、第 (2) 问 7 分、第 (3) 问 6 分，合计 17 分。下面按原卷顺序过一遍，并在每一问后点出它的“关节”在哪。

甲是 (4, 3)-好分链，乙不是。………4 分

判断给出来了，理由却常被学生省掉。甲的三次起点分别得到 (2, 1, 0, 3)、(2, 0, 1, 3)、(1, 0, 2, 3)，两两互异；乙无论如何起分，四段计数都是 (1, 1, 1, 1)——它由RBB 循环四次构成，任意连续三颗恰好含一颗红珠。

对任意一段 n 颗珠子，红珠数只能取 0, 1, 2, …, n 中的某一个，所以最多只能产生 n+1 段互不相同的计数。于是问题只剩一件事：造出一串珠子，让每个起点都恰好给出 0, 1, …, n。

按“红珠数递增”把 n+1 块首尾相接即可：

用 x_i（1≤i≤n(n+1)）表示从左到右的第 i 颗珠子，串形如 B B ⋯ B（0 个 R）、B B ⋯ B R（1 个 R）、…、R R ⋯ R（n 个 R）。这串项链共有 n 种分段方式：

逐个起点验一遍，各段红珠数都是 0, 1, 2, …, n 的一个排列，互不相同。因此这 n(n+1) 颗珠子构成的项链是 (n+1, n)-好分链，所以 (n+1, n) 是分链数对。………11 分

每段红珠数只能取 0, 1, …, n 中的某一个，共 n+1 种。因此若m ≥ n+2，m 段中必有两段及以上红珠数相同，不合题意，故 m≤n+1。

另一方面，由 (2) 知 (n+1, n)-好分链存在，去掉其第 n+1 段，剩余的是 (n, n)-好分链；再去掉后两段，得 (n−1, n)-好分链；如此一直去掉后面连续的 n 颗珠子，直到 (1, n)-好分链。

所以 m 的取值可以是 1, 2, 3, …, n+1。………17 分

官方第 (3) 问以“去掉后面连续的 n 颗珠子……类似 (2) 可证”收尾。方向是对的，但论证被压缩成了一句话，考场照抄，等于把分数押在阅卷的宽容度上。

“类似 (2)”其实并不完全类似：第 (2) 问只需在一条固定的串上数清 n+1 段，而这里每换一个 m，串长、段数、起点类都要重算。尤其第 m 段绕回第 1 块，红珠来源与前 m−1 段不同——这一步才是全题的暗礁。完整的论证放在第四章第 (3) 小问，可直接搬进课堂。

CHAPTER 03 / 06

命题立意

DESIGN INTENT

项链是壳，组合是核；分数背后，考的是“现场读懂一个新概念”的能力。

本题几乎没有复杂代数运算，跳出刷题套路，把六大核心素养一次考全：

试题原型源自组合数学中的环形 0-1 序列与滑动窗口计数，是这一题材的经典构造。它的想法并不神秘：把 n+1 个“红珠数依次递增”的块首尾相接，块结构一旦固定，窗口无论从哪一颗珠子起步，扫过的红珠数都恰好遍历一段连续整数。

命题者把这一标准构造完整地移植进中学语境，并做了充分的初等化处理——规则全部写在题干里，不依赖任何竞赛前置知识，考的是现场“读懂—翻译—构造—验证”的真功夫。

CHAPTER 04 / 06

设问架构

THREE QUESTIONS

三小问是一条上坡路：从数珠子，到造珠子，再到证明“每一段坡都通”。

本题总分 17 分，三小问梯度清晰，实现“人人有抓手，优生见高下”的分层评价功能。

本问只要求判断，不必说明理由。甲只需数一次：三种起点分别给出 (2, 1, 0, 3)、(2, 0, 1, 3)、(1, 0, 2, 3)，两两互异，故甲是；乙则不然。

隐藏小逻辑：若乙的 4 段红珠数互不相同，四个数只能取自 0, 1, 2, 3 且各不相同，总和恰为 6；而乙一共只有 4 颗红珠，4 段之和必为 4。6 与 4 不能同时成立，故乙不是。更直观的看法是：乙的排列是 RBB 循环四次，任意连续 3 颗恰好含 1 颗红珠，从哪一颗起分，四段计数都是 (1, 1, 1, 1)。

教学启示：新定义大题的第一小问本质上是阅读理解工具，要教学生用小特例翻译抽象文字，而不是一上来就跳读题干。

证明 (n+1, n) 是分链数对。每段 n 颗珠子，红珠数只能取 0, 1, …, n 共 n+1 个值；当 m=n+1 时，n+1 段互不相同的计数必定取遍这 n+1 个值。于是问题只剩一件事：造出一串珠子，使任意起点、任意分割都恰好给出 0, 1, …, n 的一个排列。

高中生的普遍弱点是：习惯计算求解，“主动构造满足条件的数学对象”这一环训练严重不足。本题恰好把“存在性必须靠构造说话”摆到了台面上。

必要条件：每段红珠数取自 0, 1, …, n，m 段两两不同，由抽屉原理得 m≤n+1；

两端情形：m=1 时整串自成一段，只有一种分割，条件平凡成立；m=n+1 时由第 (2) 问即得。真正的空白在m = 2, 3, …, n——官方答案“类似 (2) 可证”一句带过的，正是这一段。

一般构造：对 1≤m≤n+1，取 (n+1, n)-好分链的前 m 段（每段 n 颗）依次相接、首尾成环，得

共 mn 颗珠子。记第 k 块为 A_k（由 n−k+1 颗蓝珠接 k−1 颗红珠组成，1≤k≤m）。每段取 n 颗，起点只需落在 A₁ 的第 j+1 颗（0≤j≤n−1）：块结构以 n 颗为周期，其余起点只是把块的序号循环移位，计数的集合不变。

情形一

j ≤ n − m：起点全在蓝段里

此时 j≤n−k 对一切 k=1, …, m 都成立，起点仍落在 A_k 的蓝色段内，A_k 剩下的 k−1 颗红珠被整段取走；而 A_k+1 的蓝色段长 n−k≥j，其前 j 颗中也没有红珠。故 v_k=k−1，即 (v₁, …, v_m) = (0, 1, …, m−1)。

情形二

j ≥ n − m + 1：起点已进入红段

令 r=n−j，则 1≤r≤m−1（m=1 时此情形不出现），按 k 的位置分三处清点：

于是 (v₁, …, v_m) = (0, 1, …, r−1, r+1, …, m−1, r)，每个数都在 0, 1, …, m−1 中且互不重复，仍是 0, 1, …, m−1 的一个排列。

结论：两种情形已覆盖全部 n 类起点，每一类分割下 m 段红珠数都两两互异，故所构造的 mn 颗项链确是 (m, n)-好分链。于是对给定的 n∈N*，使 (m, n) 为分链数对的全部正整数 m 是1, 2, …, n+1。

官方答案的结论无误，省略的只是上述验证；而这处省略恰好落在最容易写错的一步——第 m 段绕回第 1 块时，v_m=n−j 而不再是 m。

CHAPTER 05 / 06

亮点与商榷

STRENGTH & DOUBT

一道好题值得夸，也值得被追问——夸它设计得巧，问它讲得够不够透。

第 (3) 问的论证其实不长，难在“想到用 (n+1, n)-好分链去截取”，不在书写量。官方答案以“类似 (2) 可证”一笔带过，学生照抄就是断链。

还需澄清一处流传较广的误判：不能认为“截取 (n+1, n)-好分链只能得到 m=n+1”。截取恰恰是本题的关键构造，3≤m≤n 也确有解——n=3、m=3 时的 BBB｜BBR｜BRR 即是。若照搬“该区间无解”的说法，会把学生的正确思路一并否掉。

CHAPTER 06 / 06

教学落地

IN THE CLASSROOM

把这道题拆成四件事带进课堂：补短板、分层教、练审题、分逻辑。

学生有两大典型痛点：

·忽略“任意／存在”这类逻辑量词，审题跑偏；

·擅长解方程与计算，不会构造（证存在）、不会反证（证不存在）。

实操策略：遇到陌生定义，先代入小数字特例，把抽象文字具象化，再回到一般情形。

全体学生保底：拿下 (1)(2)；能用“取值只有 n+1 种”定出 m≤n+1，并猜出第 (3) 问的结论。

尖子生拓展：理解滑动窗口的计数特征（窗口平移一格，红珠数只能 +1、0 或 −1）；掌握“分块 + 错位起点”的构造手法；能在考场写出 m=1, 2, …, n+1 的完整论证。

训练学生圈画关键词：任意、存在、恰好、互不相同，减少非知识性失分。不少学生丢分不是逻辑不会，而是把“任意分割”误读成“存在一种分割”。

图 3 ｜ 审题关键：是「任意分割」，而非「存在一种分割」

证明存在：核心手段是构造例子；

证明不存在：核心手段是抽屉原理、反证法与矛盾推演。

本题两类都用上了：先用取值个数排除 m≥n+2，再对 1≤m≤n+1 统一构造。课堂上可借此点明——“不存在”靠计数与反证，“存在”靠造得出例子，两者常常并存于同一题中。

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结语

EPILOGUE

一道优质的模拟压轴题，不只为区分分数，更是一面镜子，照见学生的思维盲区。杭州一模第 19 题提醒我们：高三复习不能一味沉溺于刷题算题，更要守护学生现场理解新概念、独立完成逻辑推演的能力。

真题研析的意义，不是把全体学生训练成竞赛选手，而是依托优质试题，引导学生会读题、会举例、会推理，真正把数学核心素养落到实处。

下一期教研赏析，我们继续深挖模考命题，与各位共赴教研之路。

好题的价值，不在难住多少人

而在打开多少种看问题的角度

HUANGQIN MATH STUDIO

咸宁市黄琴高中数学工作室

【教研赏析】系列　·　第七期

图文｜黄琴　　编辑｜黄琴　　审核｜黄琴

本文由咸宁市黄琴高中数学工作室整理分享，【教研赏析】系列持续更新中。如果觉得这篇有收获，欢迎点赞、在看、转发三连，我们下期见。

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