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初二数学的分水岭:将军饮马六种考法,多数孩子只会第一种

初二数学的分水岭:将军饮马六种考法,多数孩子只会第一种

初二数学学习过程中，有一个拦路虎---将军饮马。想必各位家长都有所耳闻。

我家哥哥，当年学的时候就初拦住了。他和很多孩子一样，只会「两定一动」那一种，题目一变条件就懵。

其实将军饮马一共有六类考法，难的不是画图，是要先准确判断，这道题属于哪一类。

这篇文章用大家能听懂的话讲清这六类考法，再给一个三问判断法，让孩子不用再背模型硬套。

大家好：我是个陪娃熬过中考的家长。哥哥已经上了重点高中，妹妹还在上小学。这里没有课程，也没有资料包，只有我这些年带娃踩过的坑、试出来的方法。如果能帮您少踩两个坑，就值了。

同一个问题，问的人特别多

最近很多朋友都问我：将军饮马这个问题，当年我家娃是怎么学的，它到底有几种考法？孩子有些题会做，有些题目一换条件就不知如何下笔，卷子上看着眼熟，就是不知道如何答。

我非常理解这种焦虑。初二几何是初中学习的分水岭——前面的题孩子靠看图、找关系基本就能做；但从几何这里开始，考的就是构造和转化了。孩子脑子里的那根弦没转过来，题型一多势必就乱了。

将军饮马一共六类常见考法。难的不是画图，是判断这道题属于哪一类。今天咱们把这六类考法给大家捋清楚。

原理只有一句：两点之间，线段最短

六类模型背后是同一个道理：两点之间线段最短。

题目偏偏不给你一条直路，而是让你绕着一条直线走两段折线，求它们加起来最短。办法就是作对称，把折线「拉直」——把其中一个点照到直线对面去，折线就变成了一条直线。

所以孩子先别急着背六个模型。这一句没通，背六个也是死记；这一句通了，六个模型都是它的变体。

第一类：两定一动，最基础的那款

两个定点、一条定直线，动点要在直线上跑，求 PA+PB 最小。这是所有孩子都会的那一种。

做法：选其中一个定点，作它关于这条直线的对称点，再把对称点和另一个定点连起来。连线与直线的交点，就是动点该待的位置。

这一类必须练到不用想。它是后面五类的零件——基础款不熟，后面的都是空中楼阁。

第二类：带系数的 PA+kPB

孩子在做题的过程中，题目里出现了系数，写成 PA+kPB，就不是简单相加了。这类题有个名字叫「胡不归」，很多孩子把它和基础款混着做，一混就错。

关键动作是：把 k·PB 变成一个不带系数的线段，通常要借一个角、造一条辅助线，把系数「藏」进线段里，再回到第一类去做。

孩子只要记住一句话：看见系数，先问这个 k 想让我把哪一段换掉。想不出这一步，就说明这类题还没过关。

第三、第四类：动点变成两个

两动一定：一个动点在 OA 上，一个动点在 OB 上，定点在角里，求三角形周长最小。周长是三条边相加，其中两条要拉直，所以作两次对称。

两定两动：两条直线上各有一个动点，求线段和最小，同样是双对称，但对称的对象和连线顺序更容易搞错，属于压轴小题的常客。

这两类的共同点：动点有几个，对称就要做几次。孩子数动点的时候，别漏掉题目里「点到为止」的那个。

第五类：造桥选址，考的是平移

这类题目往往是这样的：两条平行线之间有一条固定宽度的桥，人要先过桥再走到对岸某点，求总路程最短。这类叫「造桥选址」，是将军饮马的平移版。

桥的宽度是固定的，意味着不管怎么走，这段路都得走。那就先把一个定点沿垂直方向平移一个桥宽，把桥「消掉」，再连线。

孩子想不到平移，是因为脑子里只装了对称。看见固定宽度、固定长度，先想平移，这是这一步的钥匙。

第六类：差最大，最容易与求和搞混

最后这一类粗心的孩子，最容易做错。我称之为粗心克星：求 |PA-PB| 的最大值。注意，是差的最大，不是和的最小。

它们的做法是完全相反的——不作对称，把两个定点连起来延长，和直线的交点就是答案。因为三角形两边之差小于第三边，只有三点共线时差才取到最大。

为什么容易错？孩子做了一堆求和值最小的题目，看到两个定点一条直线，手就自动去作对称了。审题不看那个「差」字，前面全白做。

怎么让孩子不再乱：别背模型，先问三个问题

六类模型硬背，孩子记不住也用不上。我给哥哥的办法是每题先答三个问题：

第一，求的是什么？和最小、差最大、还是周长最小。

第二，动点有几个？定的几个、动的几个、在哪条线上。

第三，有没有系数？有系数先想转化。

三个问题答完，属于哪一类基本就出来了。再配一句口诀：求和最小想对称，差最大直接延长。

家长能帮的也简单：让孩子做完一道题，别急着对答案，先说说「这题为什么属于这一类」。说得清，是真懂；说不清，就是照着例题写了一遍。

在初中，几何这部分最是急不得的，六类模型吃透一个，再继续下一个，稳扎稳打，比一次十道题混着做更有用。

家长们：咱不怕慢，就怕孩子一直在原地换方法。

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