初一基础篇 | 方程：从算式到方程·方程的解·一元一次方程（12题精练）

初中数学 · 七上第5章 一元一次方程 · 基础篇

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📌 本讲导读前面四章我们都在"算"：算出来是多少就是多少。从这一讲开始换一种思路——算不出来的时候，先把未知数请进来，让关系式替我们说话。这就是方程。本讲先把地基打牢：什么是方程、什么是一元一次方程、什么是方程的解，再加一招根据实际问题列方程。别小看这些"概念题"——判断方程和由定义反求字母是每次考试的送分题，也是很多同学的丢分题。⚠️ 本讲最要命的坑：方程 = 含未知数的等式，两个条件缺一不可——"x−2"不是等式，"3+5=8"没有未知数，都不是方程！

一、知识清单

1. 方程的概念：两个条件缺一不可含有未知数的等式叫做方程。逐字抠：· ① 是等式（有等号）；② 等式中含有未知数。判一判：x=0 ✓（等式且有未知数）；2x＞3 ✗（不等式）；3x−2 ✗（不是等式）；3+5=8 ✗（没有未知数）。注意：x²=9 是方程（含未知数的等式），只是它不是"一元一次"方程——"是不是方程"和"是不是一元一次方程"是两道闸门，别混！

2. 一元一次方程：三个要素只含 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程。三要素：· 一元：只有一个未知数（x+y=8 是二元，✗）；· 一次：未知数的次数是 1（x²−1=0 是二次，✗）；· 整式方程：分母里不能有未知数（2/x+1=3 是分式方程，✗）。一般形式：ax+b=0（a≠0）。判断前先化简整理再下结论。

3. 方程的解：代入验一验使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。检验三步：① 把解代入左边算出值；② 代入右边算出值；③ 两边相等才是解，不相等就不是。反过来也常考：已知 x=a 是方程的解，求参数——把 x=a 代进去，得到一个关于参数的等式，解出来即可（本讲只用"移项+同乘除"的等式性质）。

4. 根据实际问题列方程：三步走① 审：找出已知量、未知量，抓准等量关系；② 设：设未知数（问什么设什么，也可以间接设）；③ 列：把等量关系翻译成方程。找等量关系的三板斧：用公式（面积、总价=单价×数量）；抓不变量（总人数、总钱数两种方案下不变）；抓关键词（"多""少""是几倍"）。

5. 由定义反求字母：两步锁定形如 (a−2)x^|a−1| − 6 = 0 是一元一次方程，求 a：第一步，次数为 1：|a−1|=1 ⇒ a=0 或 2；第二步，系数不为 0：a−2≠0 ⇒ a≠2，舍去；∴ a=0。"求出两个再舍一个"是这类题的标配——只答一半就丢一半的分。

二、题型精讲

题型一判断方程与一元一次方程下列各式中：①x+1=4；②2x＞5；③x²=4；④2x−3；⑤a+b=7。是方程的有（　）A．2 个　B．3 个　C．4 个　D．5 个

思路：两道闸门——先看是不是含未知数的等式。①✓；②✗ 不等式；③✓（等式、含未知数）；④✗ 不是等式；⑤✓（虽有两个未知数，但它是方程）。∴ 方程共 3 个，选 B。若再追问"其中一元一次方程有几个"：③次数是 2、⑤有两个未知数，只剩①，共 1 个。

题型二由定义求字母已知 (a−2)x^|a−1| − 6 = 0 是关于 x 的一元一次方程，求 a，并写出这个方程。

思路：|a−1|=1 ⇒ a=0 或 2；系数 a−2≠0 ⇒ a≠2，舍去。∴ a=0，方程为 −2x−6=0（即 2x+6=0）。

题型三方程的解：检验与反求参数（1）检验 x=3 是不是方程 2x+1=x+4 的解；（2）已知 x=−2 是方程 4x+m=0 的解，求 m。

思路（1）：左边=2×3+1=7，右边=3+4=7，左边=右边 ⇒ 是。（顺手验 x=−1：左=−1，右=3，不相等，不是。）思路（2）：把 x=−2 代入：−8+m=0 ⇒ m=8。回验：4×(−2)+8=0 ✓。

题型四实际问题列方程把一批苹果分给若干名小朋友，若每人分 4 个，则多出 3 个；若每人分 5 个，则还缺 2 个。设小朋友有 x 人，列出方程。

思路：苹果总数不变（抓不变量）。按第一种分法：4x+3；按第二种分法：5x−2。∴ 4x+3=5x−2。（人数 x=5，苹果 23 个——列方程阶段不要求解出。）

题型五比赛积分（综合列方程）篮球比赛胜一场得 2 分，负一场得 1 分。某队比赛 12 场，共得 20 分，且每场必有胜负。设该队胜 x 场，列出方程，并求胜了几场。

思路：胜 x 场 ⇒ 负 (12−x) 场；得分 2x+(12−x)=20。化简：x+12=20 ⇒ x=8。检验：胜 8 场得 16 分，负 4 场得 4 分，共 20 分 ✓。

三、考点速查表

四、巩固练习（12 题）

1. 下列式子中：①2x+3=7；②3+5=8；③x²=9；④4x＞1；⑤x+y=6；⑥2x−1。是方程的有几个？
2. 下列方程中，是一元一次方程的有几个：①2x+1=7；②x+y=9；③x²−1=0；④3−x=x−3；⑤2/x+1=3。
3. 若 (m−3)x^|m−2| + 4 = 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m，并求此时方程的解。
4. 已知 x=2 是方程 ax−6=0 的解，求 a。
5. 检验 x=−1 和 x=3 是不是方程 2x+1=x+4 的解。
6. 学校安排学生住宿，若每室住 6 人，则有 4 人无法安排；若每室住 8 人，则空出 2 个床位。设有 x 间宿舍，列出方程。
7. 把一批图书分给某班学生，若每人分 3 本，则多 8 本；若每人分 5 本，则少 4 本。设该班有 x 名学生，列出方程。
8. 已知 x=2 是方程 3x+a=10 的解，求 a。
9. 小明买了 x 支笔，每支 2 元，付出 20 元，找回 4 元。列出方程并求 x。
10. 利用等式的性质解方程：x−2=3−x。
11. 定义新运算 a⊗b=a+2b。若 x⊗3=11，求 x。
12. 已知关于 x 的方程 (k−2)x^|k−1| + 3 = 5 是一元一次方程，求 k，并求此时方程的解。

五、逐题解析

1. 3 个（①③⑤）
   。①③⑤都是含未知数的等式；②不含未知数，④是不等式，⑥不是等式。
2. 2 个（①④）
   。②有两个未知数，③次数是 2，⑤分母含未知数（不是整式方程）；只有①④同时满足"一元、一次、整式"。
3. m=1；x=2
   。|m−2|=1 ⇒ m=1 或 3；系数 m−3≠0 ⇒ m≠3，舍去。方程为 (1−3)x+4=0，即 −2x+4=0，解得 x=2。回验：−2×2+4=0 ✓。
4. a=3
   。把 x=2 代入：2a−6=0 ⇒ a=3。
5. x=−1 不是；x=3 是
   。x=−1：左=2×(−1)+1=−1，右=−1+4=3，−1≠3，不是；x=3：左=7，右=7，相等，是。
6. 6x+4=8x−2
   。两种住法宿舍总数不变：住不满加人（6x+4），空床位减去（8x−2）。顺带可解出 x=3（22 人住 3 间）。
7. 3x+8=5x−4
   。书总数不变：每人 3 本多 8 本是 3x+8；每人 5 本少 4 本是 5x−4。（x=6，书 26 本。）
8. a=4
   。3×2+a=10 ⇒ a=4。
9. 2x=16；x=8
   。实际花费 20−4=16 元，2x=16，解得 x=8。回验：8 支笔 16 元，付 20 找 4 ✓。
10. x=2.5
    。两边同时加 x：2x−2=3；两边同时加 2：2x=5；两边同除 2：x=2.5。回验：2.5−2=0.5=3−2.5 ✓。
11. x=5
    。x⊗3=x+2×3=x+6=11 ⇒ x=5。回验：5+6=11 ✓。
12. k=0；x=−1
    。|k−1|=1 ⇒ k=0 或 2；系数 k−2≠0 ⇒ k≠2，舍去。方程为 (0−2)x+3=5，即 −2x+3=5，−2x=2，解得 x=−1。回验：−2×(−1)+3=5 ✓。

🧠 方法速记卡① 方程两条件：是等式、含未知数——一道闸门都不能少；② 一元一次三要素：一元、一次、整式方程，判断前先化简；③ 检验两遍代：左、右各算一次，两边相等才算解；④ 由解求参：把解代入，负数分数代入要加括号；⑤ 定义求字母：先令次数为 1，再令系数不为 0 舍解——"求出两个舍一个"；⑥ 列方程抓不变量：总数不变用"两种方案相等"列式；⑦ 多几个/少几个：多就加、少就减，方向别搞反。

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