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蝴蝶(坎迪)定理观点下的高视角高考数学圆锥曲线定点定值和最值问题探秘

蝴蝶(坎迪)定理观点下的高视角高考数学圆锥曲线定点定值和最值问题探秘
圆当中的蝴蝶定理，描述的是一条弦上面取中点，从中点引出两条新的弦，四条弦和圆周交出四个交点，两两相连之后，连线和原本这条弦相交得到的两个交点，到中心点的距离一样长。
这套结论有两套推导思路，第一套依靠二次曲线整体构造，建立平面坐标，写出圆和两条引出弦对应的式子，合并得到经过四个交点的曲线，令纵坐标归零，直接得到和基础弦相交位置对应的关系式，利用根的特点，证明两处交点到原点距离相等。第二种思路依靠交比，连接圆上多组点，利用角度对应的交比表达式，代入原本弦两段等长的条件，化简之后得到两处交点到中心点距离一致。
坎迪定理属于蝴蝶定理的通用版本，不再要求取在弦的中点，对于弦上任意一处定点，都可以写出四段线段之间的长度关系，同样可以借助二次曲线系或是交比的角度形式完成推导。蝴蝶定理并不只局限于圆形，借助投影变换，还可以推广到全部圆锥曲线，椭圆、双曲线、抛物线都能够适用，甚至两条相交直线这种退化情形也成立。
圆锥曲线里蝴蝶定理的常见图形
第一种情形，两条相交弦的交汇位置落在水平坐标轴上，适合沿着竖直方向使用蝴蝶定理；如果想要水平方向列式，一般就要使用坎迪定理，椭圆、抛物线、两支同向的双曲线、两支异向的双曲线都有对应的图形。第二种情形，两条弦的交点落在竖直坐标轴上，适合沿着水平方向使用蝴蝶定理，竖直方向的关系式改用坎迪定理。
椭圆当中蝴蝶定理常用结论
椭圆左右两个顶点，横轴上选定一个定点，过定点画一条直线和椭圆交于两处，分别把左顶点和一处交点相连、右顶点和另一处交点相连，两组连线倾斜程度的比值是固定不变的数字。
由此还可以衍生多条推论，一组对边连线倾斜程度之比保持定值，相邻边连线倾斜程度相乘同样是定值。
还有一类情形，两条弦交于横轴定点，各自延长连线和横轴再交出两处新交点，这四处横轴上的点满足坎迪定理的长度关系，连线倾斜程度的比值符合蝴蝶定理，两条延长出来的直线相交，交点会始终落在一条固定不变的竖直线上，这是极点极线的特点。
双曲线当中蝴蝶定理常用结论
双曲线左右顶点，横轴上取定点，两条弦交于这个定点，延长连线和横轴交出新的交点，横轴上几个交点之间满足坎迪定理的线段关系，连线倾斜程度之比满足蝴蝶定理，延长之后两条直线的交点同样落在一条固定竖直线上。
抛物线当中蝴蝶定理常用结论
横轴上选定定点，两条弦交于定点，弦继续延长交横轴得到另外两个交点，两处交点到坐标原点横向距离相乘结果恒定；两组连线倾斜程度之比，满足蝴蝶定理对应的比例；两处三角形面积之比等于横轴上新交点横坐标之比；横轴上各段线段长度也满足坎迪定理的关系式。可以利用抛物线上点之间纵坐标的固有关系，一步步推导出全部结论。
蝴蝶定理实战例题
第一道例题是抛物线考题，四边形四个顶点全部落在抛物线上，一条边经过抛物线的焦点，另外两条边交于横轴上一点，两组连线倾斜程度存在倍数关系，依靠抛物线版本的蝴蝶定理，直接读出横轴定点的位置，也可以搭配坎迪定理联立求解，或是利用抛物线上纵坐标固有关系算出答案。
第二道例题同样是抛物线大题，焦点已知，横轴上还有一处定点，过焦点引出直线交抛物线两点，各自连接横轴定点，继续延长和抛物线再交出两点，两条新得到的连线倾斜角做差，求取差值最大的时候，写出这条连线的方程。除常规设线计算之外，还可以使用坎迪定理搭配蝴蝶定理，直接读出新连线一定会穿过横轴上的定点，再借助倾斜角和正切的变化规律算出取到最值的条件。
第三道例题是椭圆大题，先依靠向量条件算出椭圆轮廓，横轴外面竖直线上取动点，分别连接椭圆左右顶点，连线和椭圆交出新的两点，求证两点连线一定穿过横轴上某个定点，利用蝴蝶定理可以直接算出定点位置，极点极线也可以快速得到这条定直线。
第四道椭圆考题，已经知道椭圆外形，横轴上定点引出动直线交椭圆两点，分别连接左右顶点得到两条新直线，需要证明两条直线倾斜程度之比恒定，并且两条直线的交点处在一条固定竖直线上。常规解法依靠设线、联立、整理坐标之间的关系，而蝴蝶定理一步就可以得到倾斜程度的比值，极点极线直接读出交点所在定直线。
第五道双曲线考题，先依靠双曲线基础定义算出曲线外形，横轴定点引出动直线和双曲线右支交于两点，连接双曲线左右顶点得到两条连线，求证倾斜程度之比是定值，再求取一个倾斜程度组合式子的取值范围。除了联立坐标、变形化简之外，蝴蝶定理可以直接得到倾斜程度的比值，再根据双曲线右支、第一象限的范围限制，得到倾斜程度的取值区间，代入式子求出取值范围。

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