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2026-2027九上数学期中考第25题

2026-2027九上数学期中考第25题

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“鸡爪型”线段模型“

【阅读材料】

“鸡爪型”线段模型:从一个顶点引出的三条不重合的线段叫做“鸡爪型”线段(三脚架)。

25.(14分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°.点D在BA的延长线上，连接 CD. 将线段 DC 绕点D顺时针旋转，当点C落在线段BC上时，得线段 DE：旋转90°后得到线段 DF， 连接BF.
(1)根据题意，补全图形；
(2)求证∠EDB=∠FDB；
(3)用等式表示线段BC， BD， BF 之间的数量关系，并证明.
（1）解:补全图形如图；
第（2）问许多同学做不出来，主要是导角这一块还是不熟练，如果确实觉得乱，设参是一种很不错的策略，不妨设图中小的角为参数α，通过计算得出图中所有的角（只不过有些角是用含α的式子表示出来），这样就能得出相应角的数量关系。
（2）证明：令∠ACD=α，
由旋转得DE =DC=DF，∠CDF =90°
∴∠DEC =∠DCE
在△ABC 中，AB = AC，∠BAC =90°
∴∠ABC =∠ACB =45°
∵∠DEC =∠ABC +∠BDE，
∠DCE =∠ACB +∠ACD=45°+α，
∴∠BDE =∠ACD=α，
∵∠BDF +∠BDC =90°，
∠ACD +∠BDC =90°
∴∠BDF =∠ACD=α
∴∠BDF =∠BDE；
用圆的相关性质导角有时会很方便，希望同学们认真学好下一单元（圆）。
（2）证明：连CF,令∠ACD=α，
由旋转得DE =DC=DF，∠CDF =90°
∴∠DFC =∠DCF=45°
且点C、E、F 在以点D为圆心，DC为半径的圆上
∵AB = AC，∠BAC =90°
∴∠ABC =∠ACB =45°
∴∠BCF=∠ACD=45°-∠ACF=α，
∴∠EDF=2∠BCF=2α
∵∠BDF +∠BDC =90°，
∠ACD +∠BDC =90°
∴∠BDF =∠ACD=α ，又∠EDF=2α.
∴∠BDF =∠BDE；

分析（3）法1:将△BFD绕点D逆时针旋转90°构造旋转全等三角形（即“鸡爪型”线段之“旋转法”之一）。

当然也可以将△BCD绕点D顺时针旋转90°构造旋转全等三角形

或者构造直角△CGD，再将△CGD绕点D顺时针旋转90°构造旋转全等三角形

同学们学好了相似三角形的知识后，利用相似三角形的性质进行缩放后旋转也不错。
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