助力2027高考----函数三要素精练

本期看点｜10 道题，限时 21 分钟 · 含 3 道 2026 真题 · 定义域与值域模板适用｜读完《函数 18 种考法》之后练手 · 先做后看，别提前翻答案

开篇：三要素为什么值得单独练一页

先看一眼 2026 年的卷子是怎么出的。

全国Ⅰ卷第 3 题，让你算 、、 三个函数值再取交集；第 6 题，由函数最大值反求参数；第 19 题压轴的第一问，分段函数求值再解不等式。

天津卷第 6 题，在  上比较三个函数值的大小。

你发现没有——函数值、定义域、值域这三样，几乎撑起了函数部分所有的"第一问"。 它们不难，但错了就没法往下走。

这一页 10 道题就是练这个。限时 21 分钟：求值组每题 1 分半，定义域组每题 2 分钟，值域组每题 3 分钟。

第一部分　限时练（共 10 题）

求值组｜算得准，比算得快重要

**1.**（2026·全国Ⅰ卷）已知集合 ，，则  ＿＿＿＿。（原题为选择题，这里改为直接求交集）

**2.**（2026·全国Ⅰ卷·第 19 题节选）已知函数  的定义域为 ，当  时 ，当  时 。对任意 ，定义 ，则  ＿＿＿＿。

**3.**（改编）已知函数 ，则  ＿＿＿＿。

**4.**（改编）已知函数  满足 ，则  ＿＿＿＿。

定义域组｜五道关卡，取交集

**5.**（2022·北京卷）函数  的定义域为＿＿＿＿。

**6.**（改编）函数  的定义域为＿＿＿＿。

**7.**（改编）已知函数  的定义域为 ，则函数  的定义域为＿＿＿＿。

值域组｜先认长相，再选方法

**8.**（2026·全国Ⅰ卷）已知函数  的最大值为 ，则 （　） A. 　B. 　C. 　D. 

**9.**（改编）函数  的值域为＿＿＿＿。

**10.**（改编）已知函数  在区间  上的最小值为 ，则  ＿＿＿＿。

第二部分　答案速查

第三部分　逐题解析

求值组

第 1 题　答案 

三个函数值逐个算：

所以 ，与  取交集：

思维拆解：三个值里  和  都中了， 不在  里——**"算对"和"选对"是两件事，最后的比对不能省。**

顺带记诱导公式的符号规律：，，。三条全用上了，一条都不能记混。

第 2 题　答案 

先求 。因为 ，用第一段：

 就是满足  的所有 。关键一步：判断  落在哪一段。

情形一：，即 。

得 $0

情形二：，即 。

得 。

两段取并集：

思维拆解：这是 2026 年压轴题的入口，只考两件事——分段函数按位置选式、指数不等式。

注意一个细节：情形一是 （开），情形二是 （闭）， 只属于情形二。而  时 ， 成立，所以两段结果在  处正好衔接， 与  并成一个连续区间 。边界能不能接上，是这类题最容易错的地方。

第 3 题　答案 

嵌套求值，由内向外。

里面：，用第一段

外面：，用第二段

思维拆解：这类题唯一的坑是里层结果落在哪一段，要重新判断一次。 是正数，外层必须换成 ，不能顺着  一路算下去。

第 4 题　答案 

式子里同时有  与 ，一个方程两个未知，再写一个：把  换成 。

原式： … ① 换 ： … ②

令 ：

由第一式 ，代入第二式：

思维拆解：这叫"方程组法"，套路固定：把  换成让  的自变量反转的那个值。见  就换 ，见  就换 。一联立， 就被消掉。

定义域组

第 5 题　答案 

两道关卡：

• ：；
• ：，即 。

取交集： 且 ，故

思维拆解： 这个点要单独挖掉，所以答案必须写两个区间的并集，不能图省事写成 。这一分每年都有人丢。

第 6 题　答案 

三道关卡：

• 对数真数：；
• 分母根式： 在分母上，要求 （严格大于）；
• 分母不为零：，与上一条重复，已包含。

取交集：

即 。

思维拆解：这道题的全部价值就在" 在分母上"。若它在分子，答案是 ——一个等号之差，答案完全不同。做题时养成一个动作：先扫一眼根式有没有在分母上。

第 7 题　答案 

 的"输入"只能是  里的数。现在输入的是 ，所以

加 1：；除以 2：

思维拆解：复合函数定义域，**唯一原则是"内层的值必须落进外层的定义域"**。别去想  自己的定义域，要想" 这个整体必须在  里"。

对比记忆：若已知  的定义域是 ，求  的定义域——这时 ，，答案是 。方向正好相反，看清题目问的是谁。

值域组

第 8 题　答案 B（）

先记一个事实：若  在  处取得最大值 （ 在定义域内部），则  且 。

设最大值在  处取到。由 ：

由 ：

把 ② 代入 ①：

即  或 。

**验 **：。此时 ，且对任意实数 ，

而  是恒成立的基本不等式（ 时取等），所以  的最大值确实是 ，符合。

**验 ：，此时 。注意  时分母为 **，也就是说  根本不在定义域内，谈不上"在该点取到最大值"；再从另一头看，取  得

也超过了"最大值 "。两条理由都指向同一个结论：舍。

答案：B

思维拆解：这题的巧处是**"最大值点"同时满足两个条件——函数值等于最大值、导数为零。两个等式联立， 就被逼出来了。第 5 周会系统练导数，现在先认识这个套路：看到"最大值为某数"，先问"在哪儿取到"。**

第 9 题　答案 

分子分母都是 ，第一反应：分离常数。

只需盯住 ：

乘  再加 （不等号方向翻转）：

即

思维拆解：两个端点要分清—— 时取到 （能取到，闭）； 是  时的极限（取不到，开）。

顺便说：分子分母同次的分式，分离常数是万能钥匙；分母次数更高（如 ）时，改成"分子分母同除 "，再用基本不等式。

第 10 题　答案

对称轴 ，区间 。按对称轴在区间左侧、内部、右侧分三种情况。

① ：对称轴在左侧。 函数在  上递增，最小值在左端点：

② ：对称轴在区间内。 最小值在顶点：

③ ：对称轴在右侧。 函数在  上递减，最小值在右端点：

思维拆解：含参二次函数在闭区间上求最值，标准三步：

1. 写对称轴；
2. 与区间两端比（、、）；
3. 分三种情况写结论。

等号放哪边都行，但只能放一边。 比如  时对称轴恰好是左端点，两种情况算出来都是 ，重复不影响结果，但写的时候要严格不重复——这是评分标准看得最细的地方。

第四部分　三个模板，贴错题本首页

模板一｜定义域五关

分母不零 · 根号不负 · 真数为正 · 正切不竖 · 零次不零（取交集）

补两条：根式在分母上，等号要去掉；**对数的底数要满足  且 **。

模板二｜值域五法

模板三｜函数值四招

直接代入 · 分段按位置 · 抽象靠赋值与递推 · 嵌套  由内向外、每层重判位置 · 式中有  与 （或 ）用方程组法消元。

第五部分　错因诊断 + 下周预告

下周预告（第 4 周）：《函数性质三件套：单调性、奇偶性、周期性》。这是函数最难的一块，也是 2026 年压轴题的正面战场——全国Ⅰ卷第 19 题第 (2) 问考"奇函数 + 集合包含关系的推理"，第 (3) 问考"由抽象条件证明单调性"。我们把这根链条打通：奇偶推对称，对称推周期，周期定求值。

本周末复盘清单：

1. 第 2 题再算一遍  和 ，自己对着答案核；
2. 第 10 题把"最小值"改成"最大值"，重做一遍——你会发现分类位置全变了；
3. 默写定义域五关和值域五法，写在错题本第一页。

三要素这类题，考场上值 5 分，训练它却值 50 分——后面每一道函数题，都从这里起步。

下期见。