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初二|立方根

初二|立方根
立方根：和平方根长得像，脾气却不一样

数海领航工作室· 初二数学每日指导

学完平方根，紧接着就要认识立方根。不少同学把两者混在一起记：正数到底有几个根？负数能不能开方？为什么平方根要分正负、立方根却不用？这一节看起来简单，却是期中实数章最容易丢概念分的地方。今天把立方根的概念、性质和求法讲透，并和平方根做一次彻底对照。

从"体积求棱长"认识立方根

平方根来自"已知正方形面积求边长"：面积 S = a²，边长 a 是 S 的平方根。立方根来自它的三维版本：已知立方体体积求棱长。体积 V = a³，反过来求棱长 a，就是开立方。

平方与开平方、立方与开立方对照：立方根是立方运算的逆运算。

一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³ = a，那么 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方，a 叫做被开方数。

三条性质：抓住"每个数只有一个立方根"

立方根的性质可以分三类数记牢，这也是它和平方根最关键的区别：

正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0。

任何一个数都只有一个立方根——正数有、负数也有，不存在"负数不能开立方"的说法。

几个典型数的立方根对应关系：负数同样有唯一的立方根。

对比平方根：正数有两个平方根、互为相反数，负数没有平方根；而立方根对正数、负数、0 都有定义，且只有一个。这一正一负的符号规律，是选择题和填空题的高频考点。

怎么求立方根：先想立方，再开立方

求一个数的立方根，本质是反向找"哪个数的立方等于它"。常用的完全立方数要记熟：1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125；负数同理，(−2)³=−8，(−3)³=−27，(−4)³=−64。

遇到含立方的方程，按固定流程处理：先把方程化为 x³ = a 的形式，再两边开立方，最后回代检验。

含立方方程的求解流程：化为 x³ = a，两边开立方，回代检验。

三道典型题目精练

题 1（基础 · 求立方根）

题目：求下列各数的立方根：（1）27；（2）−64；（3）0.008；（4）−1/8。

解析：逐个反向找立方等于它的数。

（1）因为 3³ = 27，所以 27 的立方根是 3。

（2）因为 (−4)³ = −64，所以 −64 的立方根是 −4。

（3）因为 0.2³ = 0.008，所以 0.008 的立方根是 0.2。

（4）因为 (−1/2)³ = −1/8，所以 −1/8 的立方根是 −1/2。

易错提醒：负数的立方根仍是负数，不要写成正数；小数和分数同样可以开立方，先把它看成哪个数的立方。不要把立方根与平方根混淆，−64 没有平方根，但有立方根 −4。

题 2（中档 · 解含立方的方程）

题目：求下列各式中的 x：（1）x³ = 125；（2）2x³ − 16 = 0；（3）(x − 1)³ = −27。

解析：先化为 x³ = a（或整体的立方等于常数），再开立方。

（1）x³ = 125，两边开立方，x = 5。回代：5³ = 125，成立。

（2）2x³ = 16，x³ = 8，两边开立方，x = 2。回代：2×2³ − 16 = 16 − 16 = 0，成立。

（3）把 (x − 1) 看成整体：x − 1 = −3，解得 x = −2。回代：(−2 − 1)³ = (−3)³ = −27，成立。

易错提醒：第（3）问不要把立方直接拆开写成 x³ − 1³；先把括号整体开立方，再解一次一元一次方程。开立方后负数的符号要保留，−27 的立方根是 −3，不是 3。

题 3（技巧 · 平方根与立方根综合）

题目：已知 x − 2 的平方根是 ±2，2x + y + 7 的立方根是 3，求 x² + y² 的平方根。

解析：分两步由条件列等式。

由 x − 2 的平方根是 ±2，得 x − 2 = (±2)² = 4，解得 x = 6。

由 2x + y + 7 的立方根是 3，得 2x + y + 7 = 3³ = 27。代入 x = 6：12 + y + 7 = 27，解得 y = 8。

于是 x² + y² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100。100 的平方根是 ±10。

答：x² + y² 的平方根是 ±10。回代检验：x − 2 = 4，平方根 ±2；2x + y + 7 = 27，立方根 3，均符合条件。

易错提醒："平方根是 ±2"对应被开方数为 4，不要漏平方；"立方根是 3"对应被开方数为 27，不要写成 3×3。最后求的是 x² + y² 的平方根，结果要带 ±，不能只写 10。

平方根与立方根性质对照：综合题先分别由两个条件求出未知数，再回代。

写在最后

立方根这一节的核心，是把它和平方根放在一起对照记忆：平方根"正数两个、负数没有"，立方根"人人有、只一个、符号跟着原数走"。求立方根靠的是熟练常见完全立方数，解含立方的方程则按"化标准式—开立方—回代"三步走。今天三道题建议先独立做，再对照解析检查符号和 ± 是否写全。

—— 数海领航工作室 · 开立方不丢符号，概念对照最清楚 ——

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