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2026年海门初三期中多校联考填空压轴n阶距点详析

2026-11-13 19:12

压轴填空第16题「n阶距点」：一个字定两空，附变式训练

南通本地九年级期中卷的填空压轴，连续几年都偏爱"新定义 + 存在性"。本题把反比例函数、二次函数和最值揉在一起，真正的坑只在一个字——"和"。本篇把原题单拎出来拆透，再配 4 道变式，练完这一类就通了。
本次修订重点：把第(2)问 n 的最小值（下界） 讲透。

一、原题重现

定义：函数图象上到两坐标轴的距离和不大于 n（n≥0）的点，叫做这个函数图象的"n阶距点"。

(1) 在①(−2, −1/2)；②(−1, −1)；③(1, 1) 三点中，是反比例函数 y = 1/x 图象的"2阶距点"的有（填序号）；

(2) 若 y 关于 x 的二次函数 y = −(x − n)² − 2n + 1 图象的"n阶距点"一定存在，则 n 的取值范围是。

参考答案：(1) ②③；(2) (√13 − 3)/2 ≤ n ≤ 5/8。

二、定义拆解：距离"和"≠"都"

距离和与距离都的区域对照图

				写法	数学含义	图形区域
距离和不大于 n	\	x\	+ \	y\	≤ n	以原点为中心的菱形（含内部）
距离都不大于 n	\	x\	≤ n 且 \	y\	≤ n	以原点为中心的正方形（含内部）

一字之差，区域从菱形变成正方形，第一空和第二空的答案完全不同。本题明确写的是"和"，所以全程按 |x| + |y| ≤ n 处理。

三、两问怎么破

(1) 小问（送分，但别送错）

"2阶距点"即要求距离和 ≤ 2。三点都在 y = 1/x 上，逐个算距离和：

①(−2, −1/2)：2 + 1/2 = 5/2 \> 2，✗
②(−1, −1)：1 + 1 = 2 ≤ 2，✓
③(1, 1)：1 + 1 = 2 ≤ 2，✓

故填 ②③。注意：① 也在图象上，只因距离和超了 2 才落选——这就是"先验证定义、再下结论"。

(2) 小问（含参存在性，本题核心）——数形结合三步法

很多同学一看到"\|x\|+\|y\|"就头大，其实只要画个图，这题就"看得见"了。

第①步：把"n阶距点"画成一个菱形

"到两坐标轴的距离和 ≤ n"就是 \|x\| + \|y\| ≤ n。把它画在坐标系里，是一块以原点为中心、四个顶点分别落在 (n,0)、(−n,0)、(0,n)、(0,−n) 的菱形（含内部）。n 越大，菱形越"胖"。

这一步最关键：别把它当式子硬算，先当"一块区域"看——它和我们第一问讲过的"正方形"不一样，因为这里是"和"，所以是菱形。

第②步：把抛物线摆进去，看它和菱形的关系

抛物线 y = −(x − n)² − 2n + 1 开口向下，顶点 V(n, −2n + 1)。

注意一个重要的巧合：顶点的横坐标正好等于 n，和菱形右顶点 A(n, 0) 在同一条竖直线 x = n 上！

现在"动一动 n"想象一下：

n 太大 → 顶点 V 的纵坐标 −2n+1 很负，整条抛物线"沉"到菱形下方，框不住；
n 太小 → 菱形太小，也框不住抛物线；
只有 n 不大不小，菱形才能"咬"住抛物线。

所以答案一定是一个区间，我们要找它的两个端点——也就是菱形"刚卡住"抛物线、再松一点就框不住的两个临界位置。

第③步：找两个临界值（菱形"刚卡住"抛物线时）

上界（n 不能太大）：当 n \> 1/2，顶点 V 已落到 x 轴下方（第四象限侧）。这时菱形托住抛物线的是它的"右下边界"——直线 y = x − n（连接 (0,−n) 与 (n,0)）。

临界时，这条边界线刚好贴住抛物线（再撑大一点就框不住了）。贴住 = 相切，联立用判别式最省事：

联立 y = −(x−n)² − 2n + 1 与 y = x − n，令 t = x − n，化简得 t² + t + (2n − 1) = 0；
相切 ⇒ Δ = 1 − 4(2n − 1) = 0 ⇒ n = 5/8。

下界（n 不能太小）——这就是"n 的最小值"：当 n \< 1/2，顶点 V(n, −2n+1) 在 x 轴上方，抛物线开口向下。能钻进菱形（\|x\|+\|y\|≤n）的，只能是靠近 y 轴、在 x 轴上方的那一小段。

先把"抛物线上距离和最小的点"找出来。在抛物线上 y≥0 且 x≥0 的这一段，距离和

s(x) = \|x\| + \|y\| = x + y = −x² + (2n+1)x + (1 − 2n − n²)

是关于 x 的开口向下的二次函数。开口向下的二次函数，在一段闭区间上的最小值，一定在端点取得。这段的两个端点是：

x = 0（y 轴交点 P）：s = 1 − 2n − n²；
右侧与 x 轴交点 x = n + √(1 − 2n)（此时 y = 0）：s = x \> n。

显然 x = 0 处更小；再比左侧（x\<0）的端点（左侧与 x 轴的交点），其距离和 √(1−2n) − n 也大于 1 − 2n − n²。所以整条抛物线上最小的 \|x\|+\|y\|，就是 y 轴交点 P(0, 1 − 2n − n²) 处的值。

存在性只要求"至少有一个点够得着"，于是只要这个最小值 ≤ n：

1 − 2n − n² ≤ n ⇔ n² + 3n − 1 ≥ 0 ⇔ n ≥ (√13 − 3)/2（约 0.303）。

这就是 n 的最小值：n 比它再小一点，连 y 轴交点 P 都钻不进菱形，更别提其他点了。

把两个端点合起来（且 n ≥ 0），就是：

(√13 − 3)/2 ≤ n ≤ 5/8

临界两状态：左图 n=(√13−3)/2≈0.303，抛物线与菱形上顶点相切；右图 n=5/8，与菱形右下边相切（红点为 n 阶距点）

▶ 交互动画：拖动滑块看「n阶距点」何时出现

点睛——一招通法：新定义里的"存在性"，翻译成图形就是"运动区域和曲线要有交点"。临界位置通常是"相切"（判别式 = 0）或"过关键点"（代入特殊点）。尤其注意下界：不是盯顶点，而是找整条曲线上距离和的全局最小值（本题落在 y 轴交点），比硬分类直观得多。 考试时先画图定性、再找临界，中等生也能稳拿这一格。

四、变式训练（练完这一类）

变式1（最易错对照：把"和"改成"都"）

定义改为"到两坐标轴的距离都不大于 n"，即 |x| ≤ n 且 |y| ≤ n，是正方形区域。若二次函数 y = −(x − n)² − 2n + 1（n≥0）图象的"n阶距点"一定存在，则 n 的取值范围是。

答案：1/4 ≤ n ≤ 1。
解析：正方形比菱形"宽松"，左边还留着 x ∈ [−n, n] 一大段。存在性只看"有没有一个点同时落进正方形"，不是每个点都要落进去——所以不能直接拿顶点去卡。
正确做法：看抛物线在 x ∈ [−n, n] 上的 y 值域。开口向下，在该区间左端点 x = −n 处 y 最小：
y(−n) = −(−2n)² − 2n + 1 = −4n² − 2n + 1。
只要这段 y 能小到 ≤ n（与 [−n, n] 有交集），就存在 n阶距点：
−4n² − 2n + 1 ≤ n ⇔ 4n² + 3n − 1 ≥ 0 ⇔ n ≥ 1/4。
上限来自顶点：抛物线最高点是顶点 V(n, −2n+1)。若它跌到 y \< −n，则全图 |y| \> n，不可能有 n阶距点；这要求 −2n + 1 ≥ −n，即 n ≤ 1。故 1/4 ≤ n ≤ 1。
易错点：若只盯顶点，会得到"1/3 ≤ n ≤ 1"——那是把"顶点必须满足"当成了"全部必须满足"，把下界算大了。存在性题，找的是"有没有一个点够得着"，不是"每个点都够得着"。