面向银川初中生和家长 | 北师大版九年级上册 · 第四章《图形的相似》| 期中选填与解答题高频考点
一、知识点讲解：相似三角形里藏着"比例密码"
两个三角形相似，就像同一张照片被放大或缩小：
- 形状一模一样
，对应角相等； - 大小成比例
，对应边成比例，这个比值叫相似比 k。
相似三角形有三大"财富密码"，银川中考和期中考试年年考：
生活化类比：
想象你有一张长方形照片，长宽都放大到原来的 2 倍：
边框总长度（周长）变成 2 倍； 但照片上的画面内容（面积）变成 2² = 4 倍。
所以，如果两个相似三角形的相似比是 1:2，
那么周长比是 1:2，面积比是 1:4。
关键一句话：边长翻 n 倍，周长翻 n 倍，面积翻 n² 倍。
二、典型例题
例 1：基础计算——已知相似比求周长比、面积比
题目：△ABC ∽ △DEF，相似比为 2:3。若 △ABC 的周长为 12 cm，△DEF 的面积为 36 cm²，求：
（1）△DEF 的周长；
（2）△ABC 的面积。
解析：
（1）周长比 = 相似比 = 2:3
设 △DEF 的周长为 C，则：
12 : C = 2 : 3
2C = 36
C = 18 cm
（2）面积比 = 相似比的平方 = (2:3)² = 4:9
设 △ABC 的面积为 S，则：
S : 36 = 4 : 9
9S = 144
S = 16 cm²
答案：（1）18 cm；（2）16 cm²。
例 2：反求相似比——已知面积比，求对应边长
题目：两个相似三角形的面积比为 9:25，其中一个三角形的最短边为 6 cm，求另一个三角形的最短边。
解析：
面积比 = 相似比的平方，所以：
相似比 = √(9:25) = 3:5
这里有两种情况：
情况一：6 cm 是较小的那条最短边。
设另一个三角形最短边为 x，则：
6 : x = 3 : 5
3x = 30
x = 10 cm
情况二：6 cm 是较大的那条最短边。
设另一个三角形最短边为 y，则：
y : 6 = 3 : 5
5y = 18
y = 3.6 cm
答案：另一个三角形的最短边为 10 cm 或 3.6 cm。
例 3：综合应用——A 字型 + 面积比
题目：如图，在 △ABC 中，DE ∥ BC，AD:DB = 2:3，求 S△ADE : S四边形DBCE 的值。
解析：
因为 DE ∥ BC，所以 △ADE ∽ △ABC（AA，公共角 ∠A，同位角 ∠ADE = ∠ABC）。
AD:DB = 2:3，所以 AD:AB = 2:(2+3) = 2:5。
相似比 k = 2:5。
面积比 = k² = (2:5)² = 4:25。
即 S△ADE : S△ABC = 4:25。
设 S△ADE = 4 份，S△ABC = 25 份，
则 S四边形DBCE = 25 - 4 = 21 份。
所以 S△ADE : S四边形DBCE = 4:21。
答案：4:21。
三、易错点提醒
- 面积比 ≠ 相似比
很多同学看到相似比是 2:3，就顺手写面积比也是 2:3。记住：面积比是相似比的平方。
- 反求相似比要开平方
已知面积比 4:9，相似比是 2:3，不是 4:9。开平方时只取正数。
- 对应关系要看清
写比例式时，一定要对应边对对应边。△ABC ∽ △DEF，则 AB 对应 DE，BC 对应 EF，顺序不能乱。
- 图形中求面积比，先证相似
看到平行线、公共角，先想 AA 证相似，再套用性质，不要直接用边长比当面积比。
四、课后小练习
题目：如图，在 △ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DE ∥ BC，且 AD:AB = 1:3。
（1）求 △ADE 与 △ABC 的周长比；
（2）求 △ADE 与 △ABC 的面积比；
（3）若 S△ADE = 5 cm²，求 S△ABC。
点击查看答案与解析
答案：
（1）周长比 = 1:3；
（2）面积比 = 1:9；
（3）S△ABC = 45 cm²。
解析：
因为 DE ∥ BC，所以 △ADE ∽ △ABC，相似比 k = AD:AB = 1:3。
（1）周长比 = 相似比 = 1:3；
（2）面积比 = k² = 1:9；
（3）S△ADE : S△ABC = 1:9，即 5 : S△ABC = 1:9，所以 S△ABC = 45 cm²。
明日预告：八年级内容继续推进，一次函数与二元一次方程组的综合应用，敬请期待。
