分式方程是初二上学期第4章的重点，也是期中考试的必考内容。很多同学解分式方程时，去分母、解整式方程都做得很顺，但最后忘了检验，结果解出来一个让分母为零的增根，整道题6分全扣。今天把分式方程的解法和增根问题讲透，让你考试不再丢这个冤枉分。
一、什么是分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。我们之前学的一元一次方程，分母里是不含未知数的，叫整式方程。分式方程和整式方程最大的区别就是分母里有x。
判断一个方程是不是分式方程，只看一点：分母里有没有未知数。比如1/(x-1)=2是分式方程，而x/2=3虽然分母有数字2，但分母里没有未知数，它还是整式方程。
二、解分式方程的核心思路：去分母
解分式方程的基本思路是转化：把分式方程转化为整式方程来解。具体做法就是方程两边同时乘以各个分母的最简公分母，去掉分母，变成一元一次方程或一元二次方程。
步骤可以记成三句话：一乘（乘最简公分母去分母）、二解（解整式方程）、三检验（检验是不是增根）。
三、为什么必须检验——增根是怎么来的
这是今天最关键的内容。为什么解整式方程不用检验，解分式方程必须检验？因为去分母的时候，我们在方程两边乘了一个含未知数的式子。如果这个式子等于零，那两边就等于乘了零，方程就会发生变形，可能产生不适合原分式方程的根，这就是增根。
简单说：增根就是让原方程分母为零的那个值。检验的方法很简单：把解出来的x代入最简公分母，看它等不等于零。等于零就是增根，要舍去；不等于零就是原方程的解。
考试时检验这一步是有分的，不写检验过程直接扣分。哪怕你确定没有增根，也要写一句检验。
四、高频易错点TOP5
易错点1：去分母时漏乘不含分母的项。方程两边乘最简公分母时，每一项都要乘，包括没有分母的整数项。比如方程右边是2，乘完公分母后变成2乘公分母，很多同学直接把2丢掉了。
易错点2：分子是多项式时忘记加括号。去分母后，如果分子是多项式，一定要给分子加上括号。比如(x+1)/x乘x后变成x+1，不是x+1直接写——但如果前面有减号，-(x+1)去括号后变成-x-1，不加括号就会变成-x+1，符号全错。
易错点3：最简公分母找错。分母是多项式时，要先因式分解再找公分母。比如x²-1要分解成(x-1)(x+1)，不能直接拿x²-1当公分母去乘，否则后面检验时容易出错。
易错点4：解完不检验或检验写错位置。检验必须写在解整式方程之后，而且要代入最简公分母（或原方程分母），不是随便代入一个式子。考试时检验占1到2分。
易错点5：列分式方程解应用题忘写单位和答。分式方程应用题解完后，不仅要检验是不是增根，还要检验是否符合实际意义（比如速度不能为负），最后写答句带单位。
五、三道典型题目精练
典型题1（基础题，解分式方程）：解方程：2/(x-3) = 3/x。
解析：最简公分母是x(x-3)。方程两边同乘x(x-3)，左边变成2x，右边变成3(x-3)。去括号得2x=3x-9，移项得x=9。检验：把x=9代入x(x-3)，得9乘6等于54，不等于零，所以x=9是原方程的解。
易错提醒：这道题没有增根，但检验步骤不能省。考试时如果直接写x=9而不写检验，至少扣1分。另外注意右边3(x-3)去括号时，-3要乘进去变成-9，不是-3。
典型题2（中档题，增根问题）：解方程：2/(x-1) = 4/(x²-1)。
解析：注意x²-1可以因式分解成(x-1)(x+1)，所以最简公分母是(x-1)(x+1)。两边同乘(x-1)(x+1)，左边变成2(x+1)，右边变成4。解得2x+2=4，x=1。检验：把x=1代入最简公分母(x-1)(x+1)，得0乘2等于0。分母为零，所以x=1是增根，原方程无解。
易错提醒：这道题是最经典的增根题。很多同学解出x=1就直接写答案，忘了检验。实际上x=1让原方程第一个分母x-1等于零，原方程在x=1处根本没有意义。考试时遇到这种解出来正好让分母为零的情况，一定要写原方程无解，不能只写x=1。
典型题3（技巧题，分式方程应用题）：甲乙两地相距300千米。快车速度比慢车每小时快20千米，走完全程快车比慢车少用1.5小时。求慢车和快车的速度。
解析：设慢车速度为x千米/小时，则快车速度为(x+20)千米/小时。慢车走完全程用时300/x小时，快车用时300/(x+20)小时。根据快车比慢车少用1.5小时列方程：300/x - 300/(x+20) = 1.5。两边同乘2x(x+20)去分母，解得x²+20x-4000=0，x=60（舍去负根x=-80）。检验：x=60时x(x+20)=4800不等于零，且速度为正符合实际。所以慢车速度60千米/小时，快车80千米/小时。
易错提醒：分式方程应用题有两层检验：第一层检验是不是增根（分母不为零），第二层检验是否符合实际意义（速度不能为负、人数不能为小数）。两层都过了才能写答。这道题解出来x=60和x=-80，负根要舍去，因为速度不能为负。
写在最后
分式方程不难，难在细节。去分母别漏乘，分子多项式加括号，解完一定检验。这三步做到位，分式方程就是送分题；少做一步，就是丢分题。
期中复习阶段，建议每天练2道分式方程，养成去分母后立刻写检验的习惯。考试时这道6分题稳稳拿到手，就是和同学拉开差距的地方。
