〇、最 "唬人" 的一题，其实考的是耐心
这是数列部分的最后一期。
"新定义" 题看起来吓人 —— 题目里突然出现一个你没见过的集合、一个陌生的符号。但只要做对一件事，它就不难：
把新定义 "翻译" 成熟悉的数列语言，先弄清集合里到底有哪些元素、会不会重复，再计数。
计数的黄金原则就四个字：不重不漏。
这篇用 2026、2025 两道真题，把两类计数技巧讲清楚。
一、2026 第 19 题：分类计数，用奇偶性去重
【题目背景】
aₙ = 2n（偶数），bₙ = 3ⁿ⁻¹（奇数）。
记 Eₙ = {x | x ≤ n，存在 k，使 x = aₖ 或 x = bₖ}，
Cₙ 为 Eₙ 中元素的个数。
第 (1) 问：求 C_{3ⁿ}
第一步：先判断会不会重复。
aₖ = 2k 全是偶数，bₖ = 3ᵏ⁻¹ 全是奇数，两类元素不可能相等，所以没有重复，可以放心地 "分别数、再相加"。
第二步：分别计数。
满足 aₖ ≤ 3ⁿ 的 k：
2k ≤ 3ⁿ，共 (3ⁿ−1)/2 个（3ⁿ 是奇数，取整）
满足 bₖ ≤ 3ⁿ 的 k：
3ᵏ⁻¹ ≤ 3ⁿ，即 k ≤ n+1，共 n+1 个
第三步：相加。
C_{3ⁿ} = (3ⁿ−1)/2 + (n+1)
C_{3ⁿ} = (3ⁿ + 2n + 1)/2
验证 n=1：E₃={1,2,3}，C₃=3，公式 (3+2+1)/2=3。✓
第 (2) 问（进阶）：求 Σ_{m=1}^{3ⁿ−1} (−1)ᵐ aₘ Cₘ
先写出 Cₘ 的一般形式。对任意 m：
⌊m/2⌋ 个 aₖ，加上 r (m) 个 bₖ（r (m) 是不超过 m 的 3 的幂的个数），即：
Cₘ = ⌊m/2⌋ + r(m)
把求和拆成两部分，分别处理：
第一部分（⌊m/2⌋ 项）：把相邻的奇数项、偶数项配对，令 L=(3ⁿ−1)/2：
2 Σ(−1)ᵐ m⌊m/2⌋ = L(3L+1) = (3ⁿ−1)(3ⁿ⁺¹−1)/4
第二部分（r (m) 项）：r (m) 在区间 [3ʲ⁻¹, 3ʲ−1] 内恒等于 j，每个区间内奇偶配对，每对之和为 1：
2 Σ(−1)ᵐ m r(m) = [1 + (2n−1)·3ⁿ]/2
两部分合并，最终：
Σ_{m=1}^{3ⁿ−1} (−1)ᵐ aₘ Cₘ = [3²ⁿ⁺¹ + (4n−6)·3ⁿ + 3]/4
（这一问难度大，基础一般的同学掌握第 (1) 问的计数即可；这一问的关键收获是 "奇偶配对"。）
二、2025 第 19 题：子集和计数，每个元素出现 2ⁿ⁻¹ 次
【题目背景】
aₙ = 3n−1，bₙ = 2ⁿ。
Tₙ = {p₁a₁b₁ + p₂a₂b₂ + … + pₙaₙbₙ | 每个 pᵢ ∈ {0,1}}
理解这个定义：每一项 aᵢbᵢ 都 "可选可不选"，所以 Tₙ 就是所有子集和组成的集合。
第 (1) 问：证明任意 t ∈ Tₙ，都有 t < aₙ₊₁bₙ₊₁
Tₙ 中最大的元素，是所有 pᵢ 都取 1，即：
t ≤ Σ_{i=1}^{n} aᵢbᵢ
用错位相减（求和篇讲过）：
Σ_{i=1}^{n} (3i−1)·2ⁱ = (3n−4)·2ⁿ⁺¹ + 8
而 aₙ₊₁bₙ₊₁ = (3n+2)・2ⁿ⁺¹，比较：
(3n−4)·2ⁿ⁺¹ + 8 < (3n+2)·2ⁿ⁺¹
因为 8 < 6・2ⁿ⁺¹（n≥1 时显然成立），所以：
t < aₙ₊₁bₙ₊₁证毕。✓
第 (2) 问：求 Tₙ 所有元素之和
关键技巧：数清每个 aᵢbᵢ 出现多少次。
Tₙ 共有 2ⁿ 个元素（n 个位置各有 0、1 两种选择）。
固定某个位置 i，让 pᵢ=1，其余 n−1 个位置任意，这样的元素有：
2ⁿ⁻¹ 个
也就是说，每个 aᵢbᵢ 在总和中都恰好出现 2ⁿ⁻¹ 次。所以：
总和 = 2ⁿ⁻¹・Σ_{i=1}^{n} aᵢbᵢ
= 2ⁿ⁻¹ · [(3n−4)·2ⁿ⁺¹ + 8]
Tₙ 所有元素之和 = 2ⁿ⁻¹・[8 + (3n−4)・2ⁿ⁺¹]
【方法小结】
表格
新定义题的三步通用动作：
读定义：集合里的元素满足什么条件； 查重复：先证明元素互不相同，才能放心计数； 按规则数：分类计数或数出现次数，做到不重不漏。
【配套练习】
集合 {a₁b₁, a₂b₂, …, aₙbₙ} 的所有非空子集，共有多少个？所有这些子集中，元素 a₁b₁ 一共出现多少次？
解：
非空子集数 = 2ⁿ − 1；
含 a₁b₁ 的子集，其余 n−1 个元素任意，共出现2ⁿ⁻¹次。
数列合集收官
到这里，「天津高考真题拆解」数列四期全部完成：
① 基本量与通项（保分基础） ② 求和三板斧 ③ 数列不等式 ④ 新定义与集合计数（本篇）
建议关注公众号、点开合集，把四期连起来看一遍，数列大题就能形成完整的解题框架。
下期预告
下一部分进入解析几何。天津卷七年大题全是椭圆，我们先从最稳的第 (1) 问 "求方程与离心率" 讲起。
往期回顾
天津高考真题拆解篇｜数列不等式：放缩 + 先猜后证
天津耀华学长数学，公众号：天津耀华学长数学天津高考真题拆解篇｜数列不等式：放缩 + 先猜后证
天津高考真题拆解篇｜数列求和三板斧：错位相减、裂项、分组
天津耀华学长数学，公众号：天津耀华学长数学天津高考真题拆解篇｜数列求和三板斧：错位相减、裂项、分组
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作者 | 耀华学长
深耕天津高中数学培优 | 强基计划升学规划
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