绝对值看着是初一最好懂的一个概念：两道竖线，课上十分钟就讲完了，孩子回家也说听懂了。可初一数学头一个让家长头疼的地方，偏偏就是这两道竖线。
绝对值的题看着五花八门，归拢起来就是九类，每一类配一道题，先看什么、为什么这么看，一类一类说清楚，孩子拿到题就知道从哪儿下手。
家长看得见的，是作业上的红圈说多就多：这一题漏了一个解，那一题去掉竖线忘了变号，还有的题，孩子盯着看了半天，不知道从哪儿下笔。
小学六年数学多半九十几分的孩子，一进初中就在这儿丢分，并不少见。
绝对值也不是学完就翻篇的一节。有理数比大小、数轴上的距离、化简求值、解方程，一直到期末提高题里的最值，题目换着问法，底下用的都是它。
这一块没弄明白，错就会跟着孩子走完整个初一上学期。
两道竖线，难在要先判断
小学算术里的数几乎都是正的，算的时候不用操心符号。到了初一，负数一进来，绝对值是孩子头一回碰到这样的记号：结果是多少，要看竖线里面是正是负。
不少家长一开始也以为，绝对值就是把负号去掉，|－5|＝5，|5|＝5，一句话的事。孩子也是这么记的，所以看见|x－3|，顺手就写成x－3。
问题恰恰出在这一下顺手上——x要是比3小，x－3就是负数，竖线一拿掉，得写成3－x。
绝对值不是一个去负号的开关，而是一道先判断、再动手的题。
这九类题，其实都只用到三条道理。第一条，绝对值不会是负数，最小就是0。第二条，|x－3|表示数轴上x这个点到3这个点的距离。
第三条，竖线里面是正数或0，原样拿出来；是负数，拿出来要变成它的相反数。说人话就是：先问里面是正是负，再决定怎么去掉竖线。
初一作业里常见这样一个错：|x－3|＝5，孩子算出x＝8就停了，老师在后面打了半个勾，用红笔补了四个字：还有一个？按第二条来读，这道题说的是x离3有5个单位长。
从3往右数5格是8，往左数5格是－2。离3有5个单位长的点，数轴上本来就有两个，孩子只往右边看了一眼。
三条道理不多，之所以还要分九类，是因为题目换一种问法，孩子就认不出该用哪一条。
九类题，一类一道
第一类，几个绝对值加起来等于0。比如|a－2|＋|b＋5|＝0，求a＋b。
两个绝对值都不会是负数，加起来是0，只能每一个都是0，所以a＝2，b＝－5，a＋b＝－3。检查办法：每一项单独写一行“＝0”，一项都不漏。
第二类，绝对值等于一个正数。就是前面那道|x－3|＝5，答案x＝8或x＝－2。检查办法：在数轴上点出3，左右各数一遍。
顺带记住两个边界：|x－3|＝0只有x＝3一个解；|x－3|＝－1根本无解，距离不会是负的。
第三类，竖线里只有已知的数。比如|2－π|＋|4－π|。π约等于3.14，是一个确定的数，不是字母。
2－π是负数，去掉竖线变成π－2；4－π是正数，原样拿出来。合起来是(π－2)＋(4－π)＝2，π正好抵掉。
检查办法：每一项先写出它比0大还是比0小。
第四类，看数轴化简。数轴上从左到右依次是c、0、a、b，化简|b－a|＋|c|＋|a－c|。
先排大小：b比a大，b－a是正数；c在原点左边，|c|＝－c；a比c大，a－c是正数。结果是(b－a)＋(－c)＋(a－c)＝b－2c。
检查办法：每个绝对值下面先标一个正号或负号，再动笔。
第五类，给了范围再化简。已知1＜x＜4，化简|x－1|＋|x－5|。x比1大，x－1是正的；x比5小，x－5是负的，拿出来变成5－x。
合起来是4。检查办法：把范围画到数轴上，看它有没有跨过1和5这两个让竖线里等于0的点。要是题目只说x＞0，x可能比1小，也可能比1大，这时就得分开讨论。
第六类，什么范围都没给。化简|x＋2|＋|x－1|。先找让竖线里等于0的点：x＝－2和x＝1。
这两个点把数轴分成三段，一段一段写：x＜－2时，结果是－2x－1；－2≤x≤1时，结果是3；x＞1时，结果是2x＋1。
检查办法：每段挑一个数代回去，比如－3、0、2，原式和化简结果都对得上才算数。
第七类，几个字母各有两种可能。已知|a|＝4，|b|＝3，并且a＜b，求a－b。
a可以是4或－4，b可以是3或－3，先把四种组合全写出来，再用a＜b去筛：a＝4的两种都不行，剩下a＝－4，b＝3或－3，a－b等于－7或－1。
检查办法：先列全，再删，不边想边写。
第八类，绝对值方程，右边带着x。解|x－3|＝2x。分两种：x－3＝2x，得x＝－3；x－3＝－2x，得x＝1。
代回去看，x＝－3时右边是－6，绝对值不可能等于负数，舍掉；x＝1时左边是2，右边也是2，留下。检查办法：解出来的每一个，都回原方程看右边是不是负的。
第九类，求最小值。求|x＋3|＋|x－2|的最小值。把它读成：x到－3的距离，加上x到2的距离。
x站在－3和2之间，两段距离加起来正好是这两点之间的长度5；站到外面去，就要多走一段回头路。所以最小值是5，而且x在－3到2之间任何位置都取得到，不只是中点。
什么时候用哪一类
九类不用背成九个名字。孩子拿到一道题，先看题目给了什么：一个等于0的和、一个具体的数、一条数轴、一个范围，还是什么都没给。
给了什么，就决定先用三条道理里的哪一条。
这里有个容易想反的地方。以为的是，分的情况越多越稳妥；实际上，给了范围、范围又没跨过零点，硬分几种反而把式子写乱。
第五类和第六类，差的就是这一步判断。
家长能做的检查很简单：看孩子的草稿，去竖线之前，有没有在每个绝对值下面标正负号。标了，错了也找得到错在哪；没标，对了也可能是碰上的。
这个标号的习惯，家长检查作业时看得出孩子有没有，却未必说得清他标错在哪儿。
有个女孩现在读初三，她小姨说起过她初一上学期那一阵：第一次月考，数轴化简那道题她写了满满一行，一分没拿到。
后来她妈妈去芒果同学找了个数学一对一老师，老师先不让她化简，题目里a在原点左边，就给a定一个具体的数，a＝－2，让她把每个绝对值里的式子都算出数值来。
算到|－a|这一项，她写下－(－2)＝2，笔停住了，自己嘀咕了一句：－a是正的？
毛病出在相反数上：字母前面的负号表示取相反数，不表示这个数是负的，a是负数，－a反倒是正数。
后面几次课，题目都是带负号的字母混在绝对值里，每道先挑一个数代进去，算出里面是正是负，再去竖线，算不出来就不往下写。
期中那张卷子，绝对值的两道题都拿了满分，数学从第一次月考的78分考到了期中的90分。上一次课付一次费用，没什么负担。
时间上也有先后。眼下初一刚学有理数，前五类和第七类，是这几周作业和单元测里常见的；第六类的分段写法，不少学校放在后面当拓展讲；第八类要等学完一元一次方程，
第九类多出现在期末前后的提高题里。不必催着孩子一下子全做，先把前面几类的检查办法用顺。
前面那句红笔写的“还有一个？”，问的其实不只是那一道题。九类题换着法子问的，都是同一件事：竖线拿掉之前，里面是正是负，你判断过没有。
孩子学到绝对值以后，作业本上的红圈多半圈在哪儿：漏了一个解，忘了变号，还是压根没下笔？
