用中考瓜豆几何分析一道高中解几(2025年上海春考圆曲大题)

四季读书网 2026-10-15 09:58:43 12 0

这篇文章对2025年上海春考的圆锥曲线大题做一些探讨

【2025 上海春考数学P18（2）】在平面直角坐标系中，已知曲线Γ：x∧2/4+y∧2＝1（y≥0），点P,Q分别为Γ上不同的两点，T（t，0）问：

是否存在t，使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形?若存在求出t的取值范围，若不存在请说明理由

这个题由于直接设点计算量偏大，笔者和X-ghost提供一个偏向纯几何的解法

（虽然不适合写在考场上）

（By九龙大帝）如图，在Γ上任取一点Q，绕点T逆时针转90度得到P

根据【瓜豆原理】，对于每一个固定的点T，都有P∈Γ’，其中Γ’由Γ绕T逆时针旋转90度所得

那么，只需观察Γ与Γ’的交点情况，当P为两者的交点之一时，满足△TPQ为等腰直角三角形，又注意Q的条件为y≥0，

（By X-ghost）可以证明：当Q在椭圆的右端点时t才能取得最大值

下面证明之：（By九龙大帝）

如果Q不在椭圆的右端点，此时当P位于符合题意的两椭圆交点时，我们可以将Q沿椭圆向右移动一个小量的距离（如图）

此时我们再固定点Q，让点T动，那么根据瓜豆原理，随着T的运动，P的轨迹我们可以判断为一条直线

T向右运动一个小量使得P会重新落到（粉色）轨迹和椭圆的交点，同时随着P的平移，P的轨迹椭圆也跟着平移，进而在新的位置仍有两椭圆交于P的符合题意的情况，这是必然的

（因为显然两椭圆关于过T且斜率为1的直线对称，Q往右一点时，P必然会往上运动一些，进而T往右时，P会沿着粉色往右下走）

我们把上述过程记为f，那么只要Q不在椭圆右端点，我们就可以进行若干次f把Q移到更向右的位置，从而T可以在更靠右的位置符合题意，于是，最后T的最远距离一定为Q位于椭圆右端点处，那么只需对Q在右端点处进行讨论

显然P的轨迹为粉色直线，其与椭圆的处Q外第二个交点为临界情况时符合题意的P的位置

（By X-ghost）此时再进行计算就十分容易了，联立可求得Xp=Xt=1.2，即Xt应≤1.2

由对称性，Xt同理≥-1.2综上，Xt∈[-1.2，1.2] 解毕

当然，在高考的圆曲大题说几何直观是有风险的，高考生不建议用喵

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文章来源：四季读书网