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第6天·2022新高考I卷·导数综合应用
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第6天·2022新高考I卷·导数综合应用 来源：2022年新课标全国I卷·第22题（压轴题） 考点：导数与函数单调性、零点问题、不等式证明 分值：12分 建议用时：15-18分钟 难度：⭐⭐⭐⭐⭐ 题目 已知函数f(x)=e^x-ax和g(x)=ax-ln x，其中a>0。 （1）若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围； （2）证明：当a≥1/e时，f(x)+g(x)≥2。 手写区 （请先独立完成，再往下翻看解析） 解析 第（1）问：求a的取值范围 第一步：写定义域，求导 f(x)=e^x-ax，定义域为R（但题目限定在(0,+∞)上讨论）。 f'(x)=e^x-a。 第二步：分析单调递增的条件 f(x)在(0,+∞)上单调递增⇔f'(x)≥0对任意x>0恒成立。 即e^x-a≥0对任意x>0恒成立。 所以a≤e^x对任意x>0恒成立。 第三步：求e^x在(0,+∞)上的最小值 e^x在(0,+∞)上单调递增，当x→0⁺时，e^x→1。 所以e^x>1对任意x>0恒成立（注意x=0时e^0=1，但x=0不在区间内）。 所以a≤1。 第（1）问答案：a∈(0, 1]。 （注意题目给定a>0，所以a的范围是0<a≤1。） 第（2）问：证明f(x)+g(x)≥2 第一步：写出F(x)=f(x)+g(x) F(x)=(e^x-ax)+(ax-ln x)=e^x-ln x。 注意：F(x)与a无关！所以只需要证明e^x-ln x≥2对任意x>0恒成立。 第二步：构造函数，求最小值 令h(x)=e^x-ln x，x>0。 h'(x)=e^x-1/x。 令h'(x)=0，得e^x=1/x，即x·e^x=1。 这个方程无法显式求解，设其根为x₀，则x₀·e^(x₀)=1。 第三步：分析h(x)的单调性 h'(x)=e^x-1/x。 当0<x<x₀时，e^x<1/x，h'(x)<0，h(x)递减。 当x>x₀时，e^x>1/x，h'(x)>0，h(x)递增。 所以h(x)在x=x₀处取得最小值。 第四步：用隐零点代换求最小值 由x₀·e^(x₀)=1，两边取对数得：ln x₀+x₀=0，即ln x₀=-x₀。 所以h(x₀)=e^(x₀)-ln x₀=1/x₀-(-x₀)=1/x₀+x₀。 第五步：证明1/x₀+x₀≥2 由基本不等式：1/x₀+x₀≥2√(1/x₀·x₀)=2。 当且仅当1/x₀=x₀，即x₀=1时取等号。 但x₀满足x₀·e^(x₀)=1，当x₀=1时，1·e^1=e≠1，所以x₀≠1。 不过1/x₀+x₀≥2仍然成立（基本不等式对任意正数成立，等号条件不满足不影响不等式成立）。 所以h(x₀)≥2。 因此h(x)≥h(x₀)≥2，即f(x)+g(x)≥2，得证。 易错点提醒 第一个坑：第（1）问忘记a>0的条件。 题目给定a>0，所以a的范围是0<a≤1，不是a≤1。如果漏掉a>0，答案会多出a≤0的部分。 第二个坑：第（2）问没有发现F(x)与a无关。 F(x)=f(x)+g(x)=e^x-ln x，ax项相互抵消了。很多同学看到a就慌张，没有注意到这个关键简化。 第三个坑：隐零点代换时符号出错。 由x₀·e^(x₀)=1得e^(x₀)=1/x₀。取对数得ln x₀=-x₀。 所以h(x₀)=e^(x₀)-ln x₀=1/x₀-(-x₀)=1/x₀+x₀。 这里负负得正，容易出错。 第四个坑：基本不等式等号条件不满足时仍然使用。 1/x₀+x₀≥2对任意正数成立，等号在x₀=1时取得。虽然本题中x₀≠1，但不等式仍然成立，只是取不到等号。所以h(x₀)>2，不是≥2。 但题目要证≥2，所以>2可以推出≥2，结论成立。 真题规律总结 2022新高考I卷的压轴题是“导数与隐零点”的经典考法。第（1）问是常规的单调性讨论，第（2）问的关键是发现F(x)与a无关，然后用隐零点代换求最小值。 关键得分点：第（1）问的求导、单调性条件；第（2）问的化简、求导、隐零点设而不求、基本不等式。 备考建议：隐零点是导数压轴的核心考点。遇到e^x和ln x混合的式子，如果导数零点解不出来，就设隐零点，利用满足的等式进行代换。这是固定套路。
