这道题当年把不少人整破防了：第一问还算温柔，第二问突然像在考“两条曲线互相对暗号”。其实核心就一个词——同构。把 g(x) 看成 f(ln x)，整道题瞬间变成照镜子。
先摆原题，这一题的思路很难找。大家是怎么思考的？
22.（12分）已知函数 f(x)=e^x-ax 和 g(x)=ax-ln x 有相同的最小值。
（1）求 a；
（2）证明：存在直线 y=b，其与两条曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。
一、第一问：先保证“有最小值”，再让两个最小值握手
f 定义域是 R，g 定义域是 x>0。
求导：
f'(x)=e^x-a
g'(x)=a-1/x=(ax-1)/x
先分类 a≤0：
f'(x)=e^x-a>0 恒成立，f 一直增，没最小值；
g 在 a≤0 时也单调增（或导数≤0），同样没最小值。
所以必须 a>0。
a>0 时：
f'(x)<0 当 x0 当 x>ln a
→ f 在 x=ln a 取最小
f_min=f(ln a)=e^{ln a}-a ln a=a-a ln a
g'(x)<0 当 00 当 x>1/a
→ g 在 x=1/a 取最小
g_min=g(1/a)=a·(1/a)-ln(1/a)=1+ln a
题目说最小值相同：
a-a ln a = 1+ln a
移项：a-1=(a+1)ln a
或者写 ln a=(a-1)/(a+1)
构造 h(a)=ln a-(a-1)/(a+1)，a>0
h'(a)=1/a - 2/(a+1)^2
通分：
h'(a)=[(a+1)^2-2a]/[a(a+1)^2]
=(a^2+1)/[a(a+1)^2]>0
所以 h(a) 严格增。
又 h(1)=ln1-0=0，故方程只有唯一解 a=1。
👉 第一问答案：a=1。
小提醒：别直接“观察出a=1”就完事，考场必须证唯一性，不然扣一分都疼。
二、第二问：两条曲线其实是“同一张脸”
a=1 后：
f(x)=e^x-x
g(x)=x-ln x
关键同构：
g(x)=x-ln x
把 ln x 换成 t，则 x=e^t
g(x)=e^t-t=f(t)=f(ln x)
所以 g(x)=f(ln x)。
也就是说，g 的图像就是把 f 的横坐标取对数映射过去，形状“镜像呼应”。
最小值：
f 在 x=0 取最小，f(0)=1
g 在 x=1 取最小，g(1)=1
画个草图心里有数：
f(x)：左边从+∞往下掉到(0,1)，右边再往上飞；
g(x)：x→0+ 时 -ln x→+∞，降到(1,1)后再升。
两条曲线在 x 某处会交一下，交点纵坐标>1。
三、为什么是“三个交点”
取水平线 y=b。
要同时和 f、g 产生三个交点，只能是：
跟 f 交两次（左支一次、右支一次） 跟 g 交一次总共三个；或者对称地跟 g 两次、跟 f 一次。但要让总数正好三个且包含“两曲线公共点”，最自然的是：这条线穿过 f 和 g 的交点。
因为两曲线最小值都是1，所以必须 b>1 才可能有多个交点。
设这条线和两曲线的公共交点为 (x0,b)，其余两个交点横坐标叫 x1、x2，顺序：
x1 < x0 < x2
其中：
x1 是 f 左支上的点：f(x1)=b
x0 是两曲线公共：f(x0)=g(x0)=b
x2 是 g 右支上的点：g(x2)=b
四、同构一照，等差自己冒出来
由 f(x1)=b 且 f(x0)=b：
e^{x1}-x1 = e^{x0}-x0
但别硬解，换用 g(x0)=f(ln x0)：
因为 g(x0)=f(ln x0)=b，而 f(x1)=b
又 x1 在 f 的减区间（-∞,0），ln x0 也在减区间（x0<1 时 ln x0<0）
f 在左边单调 → 自变量相等：
x1 = ln x0
同理看右边：
f(x0)=b，g(x2)=b
但 g(x2)=f(ln x2)，所以 f(x0)=f(ln x2)
x0 在 f 右支增区间，ln x2 也在右支（x2>1）
→ ln x2 = x0，即 x2=e^{x0}
现在三个横坐标变成：
x1=ln x0
中间 x0
x2=e^{x0}
要证等差，就是证 x1+x2=2x0：
左边=ln x0 + e^{x0}
这个式子熟不熟悉？回看公共点条件：
f(x0)=g(x0)
即 e^{x0}-x0 = x0-ln x0
移项：e^{x0}+ln x0 = 2x0
正好就是 x1+x2=2x0！
所以 x1、x0、x2 成等差数列。证毕。
五、把“存在”说严一点
光说“取交点”不够，要说明真能取到 b：
f(x)=e^x-x 最小值1，b>1 时与水平线交两点； g(x)=x-ln x 最小值1，b>1 时交两点； 两曲线在 b>1 时有唯一公共点（由 u(x)=f(x)-g(x) 单调可证，或看图）； 取该公共点纵坐标 b，就得到“f两次+g一次”共三个交点。
更省事写法：
令 u(x)=f(x)-g(x)=e^x-x-(x-ln x)
u'(x)=e^x-2+1/x
可证 u'(x)>0（x>0），u(x) 严格增，u(1)=e-2>0，x→0+ 时 u→-∞
→ 唯一 x0 使 f(x0)=g(x0)
取 b=f(x0)>1，水平线 y=b 正好三个交点。
六、易错三连（这题最坑的点）
1）第一问不排除了 a≤0 就直接求最值：f 没最小值，前提崩了。
2）第二问把三个交点都当成 f 的：题目说“与两条曲线共有三个”，必须是跨曲线分配。
3）硬去解 x0：这题妙处就是 x0 不用解，只用同构关系 e^{x0}+ln x0=2x0 替掉。
4）忘说 b>1：b=1 只有两个切点，b<1 没交点，存在性不成立。
5）等差顺序写反：必须从左到右 x1<x0<x2，才谈得上 x1+x2=2x0。
七、速记口诀
第一问：a≤0 没最小，a>0 求两点，等式一造 h(a)，单调唯一 a=1。
第二问：g(x)=f(ln x)，水平线过公共交点；左点变 ln x0，右点变 e^{x0}，公共点式子一移，等差自己来。
八、互动题
变式：若 f(x)=e^x-2x，g(x)=2x-ln x，两函数最小值还相同吗？不相同的话第（2）问结论会怎样改？
（提示：同构变成 g(x)=2·(e^{(ln x)/2}·…) 不那么整齐，等差结论一般会丢，只剩特殊 b 才可能）
觉得这篇把 e^x 和 ln x 讲成照镜子了？压轴导数不再硬求导到天亮。
