分数加减看着简单，可初一有理数计算一开学，最磨时间的往往就是它。不少家长陪作业都见过，一长串分数，孩子从第一项开始挨个找公倍数，越算数越大，算完还对不上答案。
这种题多数用不着硬通分，把裂项的几类题型认熟，算得又快又准。
裂项说白了是把通分倒过来用：每一项先拆成两个分数相减，前后一加一减抵掉，剩下头尾两项再算。
题目的样子会变，分子不是1的、带整数的、分母写成连加或阶乘的，只要认准第一步，拆法都是一个路子。又慢又错多半不是孩子粗心，是手里只有硬通分这一种算法。
通分也没白学，它留到每拆一项之后验算用。后面九类题每类一道，哪种该拆、哪种老实通分更快，也一并说清楚。
裂项，就是把通分倒过来做
先看一道初一作业里常见的题，只有一行：
1/(2×3)＋1/(3×4)＋1/(4×5)＋1/(5×6)＋1/(6×7)
孩子硬通分，6、12、20、30、42一个一个找公倍数，草稿纸写满半张，嘴里还嘟囔：“分母都通到四百二了，还要往下加啊？”
最后得出来148/420，对答案，错的。这一行题，用不着通到四百二，头一项换个写法，后面四项会一项接一项抵掉。
1/(2×3)就是1/6。再看1/2－1/3，通分是3/6－2/6，也是1/6。两边一样大。
所以1/6可以写成1/2－1/3。这一步叫裂项：把一个分母是两数相乘的分数，拆成两个分数相减。拆的依据不是口诀，就是通分。
1/2－1/3通分回去是1/6，裂项只是把这条路倒过来走一遍。
照这个办法，题里每一项都能拆：1/(3×4)＝1/3－1/4，1/(4×5)＝1/4－1/5，后面两项也一样。五项排开：
(1/2－1/3)＋(1/3－1/4)＋(1/4－1/5)＋(1/5－1/6)＋(1/6－1/7)
前一组减掉1/3，后一组又加回1/3，中间四对一对一对抵掉，只剩头尾：1/2－1/7＝5/14。两行写完。
5/14化成四百二十分之几是150/420，草稿纸上那个148，就是一路通分里漏掉的两个。
为什么分子要跟差有关系？1/2－1/3通分，分子是3－2；1/3－1/5通分，分子是5－3＝2。
两个分子是1的分数相减，通分以后，分子就是两个分母的差。所以拆之前先看差，差是几，拆出来合回去的分子就是几。
这道题能拆得这么顺，是因为每一项分母的两个因数正好差1，分子又正好是1。差不是1、分子不是1，就得先补一步，后面几类题处理的就是这个。
裂项不是不要通分，是把通分挪到最后验算那一步。
长串的时候不用一项项通到底，可每拆一项，心里都要通分验一下，拆出来的两个分数合回去，得跟原来那一项一样大。
九类题，每类一道
练习册上的裂项题样子变来变去，归起来大致九类。下面每类一道，数字都小，孩子拆完可以自己通分验回去。
①母积子差，最基本的一类。分母是两个数相乘，分子正好等于这两个数的差。1/(2×3)，分子1就是3－2，直接拆成1/2－1/3，等于1/6。
认这一类只看一处：分母两个因数差几，分子是不是就是这个差。
②分子不是1，但还是等于差。2/(3×5)＋3/(5×8)，先看分子：2等于5－3，3等于8－5，都对得上，就能直接拆成(1/3－1/5)＋(1/5－1/8)。
1/5抵掉，剩1/3－1/8＝5/24。分子跟差对不上的，不能这样照拆。
③带分数，整数和分数分开算。1又1/6＋2又1/12，先把1和2拎出来，加成3；剩下1/6＋1/12，就是1/(2×3)＋1/(3×4)，
拆成(1/2－1/3)＋(1/3－1/4)＝1/4。合起来3又1/4，也就是13/4。要是一上来就化成假分数，7/6和25/12再去通分，数一下子就大了。
④分母看着不像乘法，先算出来再改写。1/(3²－1)，3²－1＝8，8写成2×4，两个因数差2。
1/(2×4)＝1/2×(1/2－1/4)，算出来1/8。4－2＝2，所以前面乘1/2，跟下面⑤是一个道理。
这一类先别急着拆，把分母写成两数相乘，看清差是几。
⑤差不是1，前面补系数。1/(2×5)，差是3。
1/2－1/5通分是3/10，是原题的3倍，所以前面要乘1/3：1/(2×5)＝1/3×(1/2－1/5)＝1/10。
这个1/3最容易漏，漏了，答案就成了原来的3倍。
⑥分母是三个数连乘。2/(1×2×3)，拆成1/(1×2)－1/(2×3)，也就是1/2－1/6＝1/3，正好等于原题。
验一下：1/2－1/6通分是3/6－1/6＝2/6，就是2/(1×2×3)。
三个数连乘，拆成“1除以前两个数的积”减去“1除以后两个数的积”，分子要等于首尾两个数的差，这里3－1＝2。
⑦分母是连加。1/(1＋2)＋1/(1＋2＋3)，先把分母算出来：3和6。3可以看成2×3÷2，6可以看成3×4÷2，两项就是2/(2×3)和2/(3×4)。
这一类难在认，分母写成连加，孩子看不出它是两个挨着的数相乘再除以2。提出一个2：2×(1/2－1/3＋1/3－1/4)＝2×1/4＝1/2。
直接通分1/3＋1/6，也是1/2，两条路对得上。
⑧阶乘。n!读作n的阶乘，就是从1一直乘到n，3!＝1×2×3＝6。课本正文里不一定有，拓展题里会碰到。
1/2!＋2/3!＋3/4!，拆成(1－1/2!)＋(1/2!－1/3!)＋(1/3!－1/4!
)，中间抵掉，剩1－1/24＝23/24。2/3!能拆成1/2!－1/3!，是因为2＝3－1，2/3!
＝3/3!－1/3!，3/3!约分就是1/2!阶乘这一类，分子总比分母里最大的那个数少1。
⑨分子比分母大，先拿出整数。7/6＋13/12＋21/20，每一项都比1多一点：7/6＝1＋1/6，13/12＝1＋1/12，21/20＝1＋1/20。
三个1加成3，剩下1/(2×3)＋1/(3×4)＋1/(4×5)＝1/2－1/5＝3/10，合起来33/10。
整数不拎出来，三个分母要通到六十；拎出来以后，剩下的正好是①那一类。
九类摆在一起看，做的是同一件事：先把每一项写成两个分数相减，再看相邻的能不能抵，最后头尾相减。
差别都在第一步，有的分母要先算，有的整数要先拎出来，有的系数要先补上。
什么时候拆，什么时候老实通分
裂项要两样都在：每一项拆完通分回去等于原项；相邻两项拆出来，正好一个加、一个减，是同一个数。
缺一样就别拆。1/(2×3)＋1/(4×5)，拆成(1/2－1/3)＋(1/4－1/5)，－1/3和＋1/4不是同一个数，抵不掉，拆完反倒多出四个分数要算。
1/2＋1/3这种分母不是两数相乘的，本来就该通分，5/6，一步就完。
只有两三项、分母又不大的，通分更快。项数多、分母是一串挨着的两数相乘，裂项才真省事。
有的题前面几项排得整整齐齐，最后一项不守规律，就把能抵的拆掉，单出来那一项另外算，不要硬套。
抵完剩下的也不一定只有头尾两个，隔一项才抵一次的，会剩头两个、尾两个，最后要一个一个数清楚再相加。
孩子拆错，多半是看分母长得像，抬手就拆：差是3的忘了补1/3，分子跟差对不上也照拆。
能抵掉的才划，划之前看一眼：是不是同一个数，一个加，一个减。
一个女孩今年读初二，初一上学期数学作业里，一碰到长串分数就从头硬通分，一道题磨二十分钟，期中数学考了79分，满分120分，前面的计算题丢了一大片。
后来她妈妈去芒果同学找了个数学一对一老师，老师让她把错的几道计算题拍照发过去，挑出能裂项的那几道，要她每拆一项，就在旁边另起一行，把拆出来的两个分数通分回去，
跟原来那一项并排写着比。比到1/(3×5)那一道，毛病出来了：她拆成1/3－1/5，通分回去是2/15，原题是1/15，大了一倍。
她一直以为分母是两个数相乘，拆成两个相减就行，不晓得两个因数差2的时候，前面要乘1/2。
老师又给她十道差1、差2、差3混在一起的题，不让算结果，只让她在每道题旁边先写上差是几、系数是几分之一。五六个礼拜下来，她拆项之前会先在分母底下标出差。
期末数学考了93分，前面的计算题一道没扣。上一次课付一次费用，没什么负担。
回到那张写满的草稿纸。下回作业里再碰到一长串分母相乘的分数，先别催孩子找公倍数，让他看头一项能不能拆成两个相减，拆完通分验一下，对得上再往下拆。
九类里认出是哪一类，就按那一类的第一步来：先算分母、先拎整数，还是先补系数。草稿纸用掉半张的题，往往两三行就写完了。
孩子算分数题算到一半，最常跟你嘟囔的是哪一句？
