二次函数区间最值问题
核心思想
① 抛物线含参数（对称轴含参，定开口，动对称轴，定区间）
② 区间含参数（抛物线固定，自变量区间左右端点带参数，动区间）
核心思想：分类讨论，看对称轴落在区间的位置关系，配合草图分析。
基础前置模型：y=a(x-h)2+k(a≠0)，对称轴x=h，顶点(h,k)
开口向上a>0：顶点处最小，离对称轴越远函数值越大；
开口向下a<0：顶点处最大，离对称轴越远函数值越小。
PART 01
通用解题步骤（必须掌握）
1.配方法，写出对称轴，确定开口方向；
2.找到定区间，讨论对称轴h与区间【m，n】的三种位置：
h＜m（对称轴在区间左侧）；m≤h≤n（对称轴落在区间内部）；h＞n（对称轴在区间右侧）
3.根据开口判断增减性，写出最值；
4.检验结果，取舍参数范围。
PART 02
类型一：定区间，动对称轴
例题一、已知二次函数y=x²-2tx+2，自变量范围【-1,3】，求函数的最小值（t为参数）解：配方：y=（x-t）2+2-t2，a-1＞0.开口向上，对称轴x=t，区间【-1,3】。
开口向上，最小值看顶点，分三类：
1.对称轴在区间左侧：t＜-1
区间内y随x的增大而增大，最小值在左端点取得
y=（-1）2-2t（-1）+2=3+2t
2.对称轴在区间内：-1≤t≤3
顶点在区间内，最小值就是顶点纵坐标
y=2-t2
3.对称轴在区间右侧：t＞3
区间上y随x的增大而减小，最小值在右端点x=3处取得
PART 03
定抛物线，动区间
例题二、二次函数y=x²-2x+2，x的范围【t，t+2】，求最小值（t为参数）
解：配方y=（x-1）²+1，a=1＞0，开口向上，对称轴x=1，区间【t，t+2】，区间长度固定为2
讨论对称轴x=1与区间【t，t+2】的位置关系：
1.对称轴在区间左侧：t＞1
区间内y随x的增大而增大，最小值在x=t取得
y=t²-2t+2
2.对称轴在区间内：t≤1≤t+2
顶点在区间内，最小值就是顶点纵坐标y=1
3.对称轴在区间右侧：t＜-1
区间上y随x的增大而减小，最小值在x=t+2处取得
y=（t+2）²-2（t+2）+2=t²+2t+2
PART 04
开口向下，含参对称轴（中考高频）
例题三、二次函数y=-x²+2mx+3，x的范围【0，2】，求最小值（m为参数）
解：配方y=-（x-m）²+m²+3，a=-1＜0，开口向下，对称轴x=m，区间【0，2】
开口向下：顶点处取得最大值
1.m＜0 对称轴在区间左侧
区间内y随x的增大而减小，最大值在x=0取得，y=3
2.0≤m≤2 对称轴在区间内，顶点取得最大值：y=m²+3
3.m＞2 对称轴在区间右侧
区间上y随x的增大而减大，最大值在x=2取得，y=4m-1
PART 05
逆向题型（已知最值，反求参数）
例题四、二次函数y=x²-2tx+2，x的范围【-1，3】，最小值为-2，求t的值
解：y=（x-t）²+2-t²，开口向上，对称轴x=t
1.t＜-1时 ，y=2t+3=-2→t=-2.5
2.-1≤t≤3时，y=2-t²=-2→t=2或t=-2（舍去）
3.t＞3时，y=11-6t=-2→t≈2.17（舍去）
综上所述：t=-2.5或t=2
（易错点：解方程得到的根不在范围中，没有取舍）
PART 06
难点剖析
- 分类标准找不到
：不知道按 “对称轴和区间的位置” 作为分类依据，凭感觉分段。 - 边界值混淆
：区间端点到底归左边还是右边；边界点不影响最值，放在两段任意一段都可以，但必须只归属一次。 - 开口方向干扰判断
：开口向上 / 向下，最值位置规律不一样，容易记反。 - 逆向题不会检验
：已知最值求参数，解出方程后忽略前提条件，产生增根。 - 缺少草图意识
：不画图，纯代数空想，无法直观判断增减性
