数海一粒粟 · 月考复盘
九年级数学 · 第一次月考
四校 34 道好题，看懂初三数学难在哪里
初三的第一次月考，是很多家长第一次真切地感到：中考来了。
和初一、初二不同，初三上学期的新课本身就是中考的重点：一元二次方程是代数的综合，圆是初中几何的最后一块拼图。而这次月考题里，已经出现了不少中考压轴题的影子：隐圆、动圆、新定义。
这一周，我收集了南京四所初中的九年级月考卷，逐题重排、做完，挑出 34 道好题，编成《九年级数学 · 好题精选》。这篇文章讲清楚三件事：月考考了什么，学生在哪里丢分，期中前该怎么准备。
PART 01
四校月考，考了什么
四所学校的考查范围基本一致：一元二次方程、圆，另有部分学校考了八年级下册的反比例函数。基础题大部分同学都能拿分，拉开分差的是下面六类题。
整体与结构
典型考法：换元求根、系数和为、根与系数的关系
最常见的失分：直接硬算，计算量大、易出错
含参与分类
典型考法：二次项系数能否为、弦所对的两种圆周角
最常见的失分：漏掉一种情况
应用题取舍
典型考法：增长率、利润、纸盒制作
最常见的失分：解出两个根不检验，全部保留
反比例函数
典型考法：的几何意义、图象平移后的对称中心
最常见的失分：不会设参数表示点的坐标
圆中最值
典型考法：定弦定角（隐圆）、点到圆的最值、将军饮马
最常见的失分：看不出动点的轨迹是圆
新定义压轴
典型考法：镜像值、勾股方程、准接圆、关联线段
最常见的失分：读不懂定义，无从下手
最后两类，“圆中最值”和“新定义压轴”，也是中考压轴题的常见方向。它们在第一次月考就已经出现了。
PART 02
5 道典型题精讲
典型题 1整体思想：把看成一个整体
若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是______。
常见错误把第一个方程的根直接当成第二个方程的根；或者想先求出，，结果发现求不出来。
正确思路
把代入，得，即，所以方程的两根为。
第二个方程中，把看成一个整体，它与第一个方程的形式完全相同，所以
或，
解得，。
答案：，结构相同的方程，解可以“换位”。月考大题里还出现了“系数和为，则是方程的根”，考的都是观察结构的能力。
典型题 2含参方程：先看二次项系数
若关于的方程的所有根都是比小的正数，则实数的取值范围是______。
常见错误默认它是一元二次方程，漏掉；用判别式和根与系数的关系讨论两根的符号，越算越乱。
正确思路
题目说的是“方程”，没有说“一元二次方程”，所以先看二次项系数。
•当时，方程为，，符合条件；
•当时，方程为，，不符合；
•当时，方程可以因式分解为，两根为，。由得，此时也成立。
答案：或含参方程三步走：先看最高次项系数能否为；能因式分解就直接求根；最后把条件转化为不等式。
典型题 3圆周角：一条弦，两种圆周角
已知的半径，弦的长为，若在上找一点，则______。
常见错误只画了点在优弧上的情况，答。
正确思路
因为，所以。题目没有说点在哪段弧上：
•点在优弧上：；
•点在劣弧上：圆内接四边形的对角互补，。
答案：或题目不给图、也不说明点的位置时，要想到所有可能的位置。初三的圆，处处有分类讨论。
典型题 4反比例函数：设参数，面积与参数无关
点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且，连接，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
常见错误想先求出点，的具体坐标，发现条件不够；或者套用的几何意义时找错了三角形。
正确思路
设（）。点在轴上，又是的中点，所以点的横坐标为，即。
点的纵坐标是，纵坐标的平均数，所以。以为公共底，两个三角形的高都是：
。
答案：C求不出具体坐标时，就设一个参数。算到最后参数消掉了，说明所求的量是定值。
典型题 5隐圆：动点的轨迹是一段圆弧
已知等边的边长为，，分别为，上的两个动点，且，连接，交于点，则的最小值是______。
常见错误盯着，的位置算，找不到点的运动规律；或者凭感觉取中点，答案对了却说不出理由。
正确思路
第一步，证角不变。由，，，得，所以。于是
。
第二步，找轨迹。线段长度不变，恒为，所以点在以为弦的一段圆弧上。这段弧的圆心满足，半径。
第三步，求最值。可以算出，所以
，
当点运动到的中心时取等号。
答案：“定弦定角”是初三最重要的辅助圆模型：线段长度不变、它所对的角不变，动点就在圆上。看出轨迹是圆，最值就变成“点到圆心的距离减去半径”。
PART 03
初三数学，难在哪里
把四所学校的题放在一起看，初三数学比初一、初二难在三个地方：
1知识开始综合：方程与函数、圆与三角形、代数与几何放在一道题里考，任何一块薄弱都会被放大。
2方法比知识更重要：整体思想、分类讨论、设参数、辅助圆，这些方法在月考里反复出现，只靠刷题很难自己总结出来。
3压轴题型提前出现：新定义、隐圆、动圆这些中考压轴的常见题型，在第一次月考就已经出现了。
初三上学期是最后一个完整学习新课的学期。新课学扎实，下学期的总复习才有底气。
PART 04
期中前，怎么准备
期中考试大约在一个月后，范围通常是一元二次方程和圆（以学校通知为准）。
给同学们的建议
1方程题先观察：动笔之前先看结构，能整体代入的不展开，能因式分解的不用求根公式。
2圆的题目先分类：看到弦、圆周角、“点在圆上”，先想清楚点有几种可能的位置。
3最值题记模型：定弦定角、点到圆的最值、将军饮马，每个模型整理一道代表题，弄懂为什么。
4应用题要检验：解出两个根后，用实际意义和题目中的附加条件逐个检验。
给家长的建议
•不要只看总分，要看丢分的题属于哪一类：基础题丢分要抓紧补，压轴题暂时不会不必慌。
•关注孩子的错题是否当天订正。初三的错题积累得很快，越拖越难补。
•如果孩子在圆和最值问题上明显吃力，越早系统学习方法越好。到了总复习，这部分内容会更集中、更难。
PART 05
领取完整讲义
文中只讲了 5 道题。完整的《九年级数学 · 好题精选》共 34 题，分五个模块：一元二次方程，反比例函数，圆的基本性质，圆中的最值与动点，综合与压轴。每道题都有考点、详细解答和思路分析，每个模块末尾附方法小结。
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免费试卷诊断：想知道孩子这次月考具体错在哪里，可以把试卷拍照发给我。我会看完整张卷子，回复一份简短的诊断：主要失分在哪几类题，属于哪种原因，接下来先补什么。
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汇学名师工作室位于南京，开设初高中数学、物理、化学、英语四科课程。主理人是一线初高中数学教师，也是本公众号的作者。
我们相信，好成绩来自好方法和好习惯：先讲清思路，再练到熟练，最后让学生自己讲得出来。
初一、初二的月考复盘已在前文发布，欢迎在“数海一粒粟”查看。
