(39)2025年杭州市中考
八县区一模数学第24题
已知AB为直径，弦CD⊥AB于E ，作点
B关于CD的对称点H，连结CH并延长
交⊙O于点 P，连结PD.
图1
(1）如图1，若对称点H与点O重合，
试求∠CPD的度数，
图2
(2）如图2，连结AD交CP于点M，
求证：AD⊥CP ，
图3
(3）如图3，连结BP交CD于点F，
若AB=3, sin∠CPB=√6/6，
① 试求BE的长；
② 直接写出PC+PD的值．
【解析】(1)∵作点B关于CD的对称点H，
而且对称点H与点O重合，
∴ CD是BH(BO)的垂直平分线，
∴BC=OC ,
∵OC=OB ,
∴OC=OB=BC ,
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60° ，
∵AB为直径，
弦CD⊥AB于E ,
∴∠AEC=∠PDC=90°,
∴ AB//PD ，
∴∠CPD=∠COB=60°,
(2）如图4，连接BC, BD,
图4
∵ AB⊥CD ，
点B关于CD的对称点H,
∴ HC=CB ,
∠PCD=∠BCD ，
∵AB为直径，
弦CD⊥AB于E ,
∴弧BC=弧BD ,
AD⊥BD ,
∴∠BDC=∠BCD ,
∴∠BDC=∠PCD ,
∴PC//BD ,
∴AD⊥CP，
(3）①如图5，连接AC, BC,
图5
∵∠CAB=∠CPB，
∴sin∠CAB=sin∠CPB
=√6/6，
∴BC=AB·sin∠CAB
=3x√6/6
=√6/2，
∵∠CBE=∠ABC ,
∠ACB=∠CEB ,
∴△ABC∽△CBE ,
∴BC²=BE·BA ,
∴BE=BC²/BA
=(√6/2)²/3
=1/2，
②由⑵得∠PCD=∠BCD ,
弧BC=弧BD ,
HC = CB ,
∴弧PD=弧BD ,
CH=BC=√6/2 ,
∴弧BC=弧PD ,
∴PD=BC=√6/2，
∵1/2BH=BE=1/2
∴BH =1,
∴AH=AB-BH
=3-1
=2，
∵∠BAC=∠BPC ,
∠AHC=∠BHP，
∴△AHC∽△PHB，
∴PH/PH=CH/BH ,
∴2/PH=(√6/2)/1，
∴PH=2√6/3
∴PC+PD=CH+PH+PD
=√6/2+2√6/3+√6/2
=5√6/3 .
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