中考冲刺,几何突破必备!-手拉手相似模型

手拉手相似模型情境设定

· 特殊相似型手拉手核心要点：

模型特征：如图，在等腰△BAC和等腰△BDE中 ，满足∠ABC=∠DBE，且共顶点B。

· 一般相似型手拉手核心要点：

模型特征：如图，在△BAC和△BDE中 ，满足∠ABC=∠DBE，且共顶点B。

模型进阶：

· 与“瓜豆原理”（主动点与从动点）联动

手拉手相似模型是理解“瓜豆原理”（种瓜得瓜，种豆得豆）的静态体现。主动点轨迹和从动点轨迹构成的图形，本身就满足手拉手相似关系，这为解决动点路径问题提供了关键思路。

· 与“中点模型”结合

在手拉手模型的基础上，连接对应线段的中点，可以衍生出一系列新的、固定的数量关系和位置关系。

· 与圆、四边形、最值问题融合

模型的变体可以融入圆的性质，或与特殊四边形结合。其旋转特性也常被用来将分散的线段集中，从而利用“两点之间线段最短”解决最值问题。

核心结论与证明思路

结论1：△BAC ∽ △BDE

· 描述：由共顶点引出的两个三角形存在相似关系

结论2：△BEC∽ △BDA

· 描述：根据手拉手相似，可得由同一顶点引出的第二组三角形相似

· 证明思路：

1、由结论1可得△BAC ∽ △BDE，可得BA:BC=BD:BE,且∠ABC=∠DBE

2、所以∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE,即∠EBC=∠DBA 

3、综上可得：△BEC∽ △BDA

结论3：BE:BD=BC:BA=CE:AD

· 描述：相似三角形对应边成比例，即拉手线长度的比，等于原三角形的相似比

· 证明思路：

1、由结论二：△BEC∽ △BDA

2、根据对应边成比例可得BE:BD=BC:BA=CE:AD

结论4：拉手线AD与EC的夹角，等于原相似三角形的对应夹角（即旋转角,结论证明可参考往期视频号）

模型识别及其应用

1、模型识别：首先从复杂图形中“定位”，当题目图形中出现 “共顶点的两个相似图形” 时，应立刻警觉“手拉手”的可能性。

常见的“信号灯”包括：

（1）共顶点的两个等边三角形或正方形

（2）共顶点且顶角相等的两个等腰三角形。

（3）共顶点的两个直角三角形，且其夹角相等。

2、模型构造：无中生有的“辅助线艺术”

更多时候，题目不会给出完美的手拉手图形，需要我们自己构造，这是解题的难点，也是精髓。

*构造的核心思想：创造一个与已知三角形共顶点且相似的三角形。

3、解题口诀

· 全等型：“两等腰，共顶点，等顶角；连拉手，得全等，角平分。”

· 相似型：“相似形，共顶点；连拉手，成新似；夹角定，比值等。”

  总结  

“手拉手”模型的学习，不仅仅是记忆几个结论和构图，其终极价值在于领悟 “旋转变换” 这一核心几何思想，掌握从复杂图形中识别基本结构，并通过构造辅助线化未知为已知的能力。它教会我们，许多看似棘手的几何问题，不过是某个基本图形经过旋转、缩放后的样子。当你掌握了这种“动态的眼光”，几何世界将在你眼中变得更加清晰、简洁，也更加美妙。

附题