高考真题拆解｜一元三次函数的极值点，两种处理方式：2025年新课标2卷第13题

填空题把全部过程压在最后一行数字里，落笔就是终局. 这道题的题面很省：三个因式，一个关于极值点的条件，最后问一个函数值. 运算量看着不大，可真正决定答案的，是你从哪个角度切进去.

【真题】2025 年新课标2卷 · 第 13 题（填空）

建议先动笔做一遍，再往下看.

【解析】参考答案与解析

【拆解】先看清条件，再选路

(1) 题眼：x=2 已经是零点，要让它成为极值点，只能靠重根.题给的 f(x)=(x−1)(x−2)(x−a) 里含一个 (x−2)，所以 x=2 必是零点；而零点两侧函数值异号. 极值点两侧函数值同号. 两者要同时成立，零点的重数必须是偶数，也就是 x=2 得是重根. 现有因式里 (x−2) 只出现一次，那 a 就得等于 2. 这道题的全部难点，就落在「零点与极值点的关系由重数决定」这一层.

(2) 法一（通法）：求导，取必要条件.先写 f(x)=(x²−3x+2)(x−a)，再由乘积法则得 f′(x)=(2x−3)(x−a)+(x²−3x+2). 极值点必有 f′=0，于是令 f′(2)=0. 这里有个省算量的细节：第二项 x²−3x+2 在 x=2 处本身就是 0，不必展开整式，直接得 f′(2)=2−a=0，即 a=2. 通法到此只写了两行.

(3) 法一还没完：必须检验充分性.f′(2)=0 只是极值点的必要条件，答题不能停在这里. 把 a=2 代回，f(x)=(x−1)(x−2)²，x=2 是二重根，两侧函数值同号，x=2 确为极小值点. 这一步在逻辑上省不得：多数失分就出在拿到必要条件就直接落笔. 只是因为 a 只有一个值，又是选填题，因此可以省略检验过程.

(4) 法二（特殊办法）：从零点数出发，用图象判断.f(x) 的三个零点是 1、2、a，用穿针引线法画三次函数图象. 当 a≠1 且 a≠2 时，x=2 是单根，两侧函数值符号互异，它不是极值点；当 a=1 时零点在 1 处合并，x=2 仍是单根，两侧依旧异号，还是不是极值点. 结论只有一个来源：a=2，此时 x=2 成二重根. 这条路一步导数都不用算，但要把 a=1 这个情形单独捡出来.

(5) 两条路怎么选，以及高频易错.法一的优势是通用：求导、令导数为零、代回检验，三步都有明确落点，考场上不容易慌；法二的优势是快：认出三个零点直接画图，运算量几乎为零，代价是要把 a 的几种情形讨论完整. 四条易错记一下：一是把 f′(2)=0 当成充分条件，忘了检验；二是图象法只讨论 a≠1、a≠2，漏掉 a=1；三是读题时没看出 x=2 本来就是零点，把题做复杂；四是最后代 f(0) 时符号出错.

【考查目标】

【备考建议】