（数学专题讲义，主要适用于学生一轮二轮复习总结用，提高综合分析能力，解决选择、填空压轴题，解答综合题用，基本内容、典型例题、二级结论全面系统完整，讲义中所选题目均为中高考真题，有层次，家长需要完整（含图）可编辑打印版，以及其他学科专题讲义，可以微信联系我提供。）
一、基本内容
1．核心原型：两定点 A、B 与定直线 l 上的动点 P，求 PA+k·PB（0<k<1）的最小值。通法是把系数 k 看成某个锐角的正弦值，通过构造角把 k·PB 转化为一条垂线段，再“化折为直”求最小值。
2．常见研究对象：直线（线段）上的加权线段和最小（胡不归）、圆上动点的加权线段和最小（阿氏圆）、三线段加权和最小（加权费马点）、对称加垂线段型（BM+MN）等。
3．模型识别要点：一看动点轨迹（直线或圆），二看系数（等于1、小于1、大于1），三看求最大还是最小。系数大于1时先提取公因数化为小于1的系数（如 2EN+BN=2(EN+½BN)）。
4．核心思想：构造转化（构造角或构造相似点把系数融入线段）→ 化折为直（折线段化为两点间线段或点到直线垂线段）→ 依据最短性质取等。
二、性质与定理
名称 | 核心内容 | 在胡不归问题中的典型应用 |
两点之间线段最短 | 连接两点的所有线中，线段最短。 | 转化后直接求两点距离，即折线段和的最小值。 |
垂线段最短 | 直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短。 | 把 k·PB 化为动点到构造直线的垂线段后求垂距。 |
锐角三角函数 | 直角三角形中 sinα=对边/斜边，cosα=邻边/斜边。 | 构造 sinθ=k 的角，使 k·PB 恰为一条垂线段。 |
三角形相似 | 两边成比例且夹角相等（或两角相等）的三角形相似。 | 阿氏圆中取分点构造母子相似，把 k·PA 化为直线段。 |
轴对称性质 | 对称轴垂直平分对应点连线，对称点到轴上点距离相等。 | BM+MN 型先作对称点，把折线化为直线再求垂距。 |
勾股定理 | 直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。 | 求转化后两点间线段或点到直线垂距的长度。 |
三、基本模型与辅助线作法
模型1 直线型·胡不归（核心模型）：定点 A、B，动点 P 在定直线 l 上，求 PA+k·PB（0<k<1）的最小值。辅助线口诀：“系数看成正弦，定线上构造角；过动点作垂线，折线化为垂线”。作法：① 在 B 点沿定直线 l 向另一侧作射线，使射线与 BP 所在方向的夹角 θ 满足 sinθ=k；② 过动点 P 向该射线作垂线 PQ，则 PQ=k·PB；③ PA+k·PB=PA+PQ，其最小值等于定点 A 到该射线的垂线段长（当 A、P、Q 共线且 AQ⊥射线时取等）。
模型2 圆型·阿氏圆：定点 A、C，动点 P 在定圆 ⊙B 上，求 PC+k·PA 的最小值。辅助线口诀：“母子相似取分点，系数融进线段里”。作法：在直线 BA（或 PA 所在方向）上取点 F，使 BF/BP=BP/BA=k（即取定比分点），由 ∠PBF=∠ABP 及对应边成比例证 △PBF∽△ABP，得 PF=k·PA；则 PC+k·PA=PC+PF≥CF，当 C、P、F 三点共线时取最小值 CF。
模型3 加权费马点：求 PA+PB+√2·PC（权重含√2）类最小值，用旋转构造：绕 C 旋转使加权系数变为旋转角的正弦（√2 对应 90°），化折为直后求两点间距离。
模型4 对称＋垂线段：形如 BM+MN（M 在定线段上、MN 为垂线段）的式子，先作 B 关于定直线的对称点 B′，得 BM=B′M，再化折为直或直接求垂线段长。
常见错误与防错：① 误把系数大于1 当小于1 直接构造；② 构造角方向选错（应向动点所在半平面外侧作射线）；③ 忽略取等条件，未确定动点具体位置；④ 把胡不归与将军饮马混用（系数为1 时用对称，系数小于1 时用构造角）。
四、典型例题精讲
例1（基础★）：菱形中的加权线段和（系数2提公因数）
图1 菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，MN为AE的垂直平分线，N在BD上
【例题】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于M、交BD于N，连接AN、EN。（1）求证：NA=NE；（2）求2EN+BN的最小值。 |
【解析】 （1）菱形中BD平分∠ABC，故∠ABN=∠CBN=30°；又AB=CB，BN=BN，得△ABN≌△CBN，所以AN=CN。因MN是AE的垂直平分线，有NA=NE。综合得NE=NC。 （2）2EN+BN=2NE+NB，系数2大于1，提公因数得2(NE+½NB)。作NG⊥AB于G，在含30°角的直角三角形中NG=½NB，于是2EN+BN=2(NE+NG)，问题转化为求“NE加N到AB的垂线段”的最小值，即定点E到直线AB的垂距的2倍，属于胡不归（垂线段）模型。 当E与B重合时，N为AB垂直平分线与BD的交点，NE=NB=AB/(2cos30°)=2√3/3，故2EN+BN=2×(2√3/3)+2√3/3=2√3。一般地，由对称性与垂线段最短，最小值为2AB·sin60°=2√3。 |
【答案】 （1）NA=NE（证明见解析）；（2）最小值为2√3。【考查】菱形性质、全等三角形、垂直平分线、胡不归型最值。 【来源】四川凉山州2024年第26题。 |
例2（基础★）：直角三角形内动点的加权线段和（相似构造化系数）
图2Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=7，BC=9，CM=3，M为△ABC内部一点
【例题】 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM=3，则AM+(1/3)BM的最小值为______。 |
【解析】 在BC上取点G，使CG=1。因为CG/CM=1/3，CM/BC=3/9=1/3，且∠MCG=∠MCB，所以△MCG∽△BCM，得MG=(1/3)BM。 于是AM+(1/3)BM=AM+MG≥AG（两点之间线段最短），当M在AG上时取等。在Rt△ACG中，AG=√(AC²+CG²)=√(49+1)=5√2。 |
【答案】 5√2。【考查】相似三角形构造、两点之间线段最短、勾股定理。 【来源】黑龙江龙东2025年第18题。 |
例3（中等★★）：圆上动点的加权线段和（阿氏圆母子相似）
图3 抛物线y=x²−6x+5，⊙B半径2，P为⊙B上一动点
图4 在AB上取F使BF=1，△PBF∽△ABP，PF=1/2·PA，C、P、F共线时取最小
【例题】 如图，抛物线y=ax²+bx+5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E。（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1/2·PA的最小值。 |
【解析】 （1）由对称轴x=3与A、B对称得A(1,0)、B(5,0)；直线AD过A且与对称轴交于D(3,2)，得AD：y=x−1；抛物线过A、B得y=x²−6x+5。 （2）分两类：当∠DAM=90°时，AM⊥AD，M(4,−3)；当∠ADM=90°时，DM⊥AD，M(0,5)或(5,0)。 （3）在AB上取点F使BF=1，由BF/PB=PB/AB=1/2且∠PBF=∠ABP，得△PBF∽△ABP，故PF=1/2·PA。于是PC+1/2·PA=PC+PF≥CF，当C、P、F三点共线时取最小值。C(0,5)、F(4,0)，CF=√(5²+4²)=√41。 |
【答案】 （1）AD：y=x−1，抛物线y=x²−6x+5；（2）M为(4,−3)或(0,5)或(5,0)；（3）最小值为√41。【考查】待定系数法、直角三角形存在性、阿氏圆最值。 【来源】山东烟台2023年第24题。 |
例4（中等★★）：抛物线上的倍系数加权线段和
图5 抛物线y=−1/3x²+1/3x+4，D、E分别在OC、AB上且AE=2CD
图6 相似比2的辅助构造：把2BD折入CG，G(−7/5,−56/5)，C、E、G共线时取最小
【例题】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(−3,0)，B(4,0)，C(0,4)。（1）求此抛物线的解析式；（2）已知抛物线上有一点P(x₀,y₀)，其中y₀<0，若∠CAO+∠ABP=90°，求x₀的值；（3）若点D、E分别是线段OC、AB上的动点，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值。 |
【解析】 （1）设交点式y=a(x+3)(x−4)，代入C(0,4)得a=−1/3，故y=−1/3x²+1/3x+4。 （2）由∠CAO+∠ABP=90°及Rt△AOC中∠CAO+∠ACO=90°，得∠ABP=∠ACO，用斜率或三角函数求直线BP与抛物线的交点，得x₀=−21/4。 （3）设CD=t，则AE=2t（0≤t≤4）。构造相似（相似比2）把2BD折入一条线段：按题库思路取辅助点G(−7/5,−56/5)，使CE+2BD=CE+CG，当E在CG上（共线）时取最小值。CG=√((7/5)²+(4+56/5)²)=√233。 |
【答案】 （1）y=−1/3x²+1/3x+4；（2）x₀=−21/4；（3）最小值为√233。【考查】待定系数法、角度条件求点、加权线段和最值。 【来源】湖北黄石2023年第25题。 |
例5（较难★★★）：45°角构造的经典胡不归
图7 抛物线y=x²+6x+5，Q在线段OC上，求2AQ+√2CQ的最小值
图8 取M(5,0)，作QG⊥CM于G，QG=√2/2·CQ，2AQ+√2CQ=2(AQ+QG)
【例题】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c关于直线x=−3对称，与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交于C。（1）求抛物线解析式；（2）点P为对称轴上一点，连接BP，将BP绕P逆时针旋转90°使B对应点D落在抛物线上，求P坐标；（3）在线段OC上是否存在点Q，使2AQ+√2 CQ存在最小值？若存在，写出Q坐标及最小值；若不存在说明理由。 |
【解析】 （1）A(−1,0)关于x=−3的对称点为B(−5,0)，y=(x+1)(x+5)=x²+6x+5。 （2）设P(−3,p)。P在x轴上方时D与A重合，P(−3,2)；P在x轴下方时作DF⊥对称轴，证△BPE≌△PDF，代入抛物线解得p=−1，P(−3,−1)。 （3）C(0,5)，OC=5。取M(5,0)，则CM=5√2且∠OCM=45°。作QG⊥CM于G，△QGC为等腰直角三角形，QG=CG=√2/2·CQ。故2AQ+√2CQ=2(AQ+QG)≥2AH，其中AH为A到CM的垂距。由面积法½·AM·OC=½·CM·AH，即6×5=5√2·AH，AH=3√2，最小值为2AH=6√2。此时△OAQ为等腰直角三角形，OQ=OA=1，Q(0,1)。 |
【答案】 （1）y=x²+6x+5；（2）P(−3,2)或(−3,−1)；（3）存在，Q(0,1)，最小值为6√2。【考查】二次函数、旋转全等、胡不归型最短路径。 【来源】四川眉山2025年第25题。 |
例6（较难★★★）：无理系数√5/2的胡不归构造
图9 直线y=−x−6与抛物线y=1/3x²+x−6，H为顶点，P在对称轴上
图10 构造PQ=2QH使PQ=2√5/5·PH，PH+√5/2·PO=√5/2(PQ+PO)
【例题】 如图，直线y=−x−6与x轴交于A、与y轴交于C，抛物线y=ax²+bx+c经过A、C两点，与x轴另一交点为B，抛物线对称轴为直线x=−3/2。（1）求抛物线表达式；（2）点D在抛物线上、横坐标为t，若点D到直线AC的距离为3√2/2，求所有满足条件的t值；（3）若H为抛物线顶点，P为对称轴上一点，请直接写出PH+√5/2·PO的最小值。 |
【解析】 （1）由直线y=−x−6得A(−6,0)、C(0,−6)，由对称性B(3,0)，设y=a(x+6)(x−3)，代入C得a=1/3，故y=1/3x²+x−6。 （2）OA=OC=6，△AOC为等腰直角三角形。点D到AC的距离3√2/2对应两条平行于AC的直线l₁：y=−x−3与l₂：y=−x−9，分别与抛物线联立得t=−3±3√2或t=−3。 （3）配方得顶点H(−3/2,−27/4)。把式子改写为PH+√5/2·PO=√5/2(2√5/5·PH+PO)。构造：在对称轴上取Q，使PQ=2QH，则sin∠PHQ=2√5/5，即PQ=2√5/5·PH。于是原式=√5/2(PQ+PO)≥√5/2·ON（O到构造直线的垂距），求得ON=3√5，故最小值为√5/2×3√5=15/2。 |
【答案】 （1）y=1/3x²+x−6；（2）t=−3−3√2或−3+3√2或−3；（3）最小值为15/2。【考查】二次函数、点到直线距离、胡不归最值模型。 【来源】山东烟台2026年第24题。 |
五、巩固练习
练习1（中等★★）：对称加垂线段的胡不归
图11 抛物线y=x²−2x−3，M为射线AQ上一动点，MN⊥x轴，求BM+MN的最小值
【练习】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1。（1）求二次函数关系式；（2）连接AC、BC，抛物线上是否存在点P使∠CBP+∠ACO=45°，若存在求出P坐标；（3）在x轴上方抛物线上找一点Q作射线AQ使∠BAQ=2∠ACO，点M是线段AQ上一动点，过M作MN⊥x轴垂足为N，连接BM，求BM+MN的最小值。 |
【答案】 （1）y=x²−2x−3；（2）存在，P(2,−3)或(0,−1)；（3）最小值为96/25。 提示：在OC上取F使AF=FC，得tan∠BAQ=3/4，取G(3,3)；作B关于AQ的对称点B′，BM+MN=B′M+MN≥B′N，B′N=BB′·sin∠ABB′=(24/5)×(4/5)=96/25。 【考查】二次函数、轴对称、胡不归型最值。 【来源】四川遂宁2025年第25题。 |
练习2（中等★★）：圆上动点加权最值（选择压轴）
图12 抛物线y=ax²+bx+c(a<0)交x轴于A(−3,0)、B(1,0)，交y轴于C
图13c=3时，P在以O为圆心2为半径的圆上，取H(−4/3,0)构造△HOP∽△POA
【练习】 如图，抛物线y=ax²+bx+c(a<0)的图象交x轴于点A(−3,0)、B(1,0)，交y轴于点C。以下结论：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③当以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=√7；④当c=3时，在△AOC内有一动点P，若OP=2，则CP+(2/3)AP的最小值为√97/3。其中正确结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 |
【答案】 C（3个）。提示：①过B(1,0)，正确；②对称轴x=−1，b=2a、c=−3a，a+3b+2c=a<0，正确；③AC=AB=4时c=√7，BC=AB=4时c=√15，故③错误；④c=3时C(0,3)，取H(−4/3,0)，由OH/OP=(4/3)/2=2/3=OP/OA且∠HOP=∠POA，得△HOP∽△POA，PH=(2/3)PA，故CP+(2/3)AP=CP+PH≥CH=√((4/3)²+3²)=√97/3，正确。 【考查】二次函数图象性质、等腰三角形分类、相似转化最值。 【来源】四川宜宾2024年第12题。 |
练习3（较难★★★）：45°胡不归与面积分类讨论
图14 抛物线y=−x²+2x+3，BC上动点P满足MP+(√2/2)·BP最小
【练习】 如图，已知抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，B的坐标为(3,0)，C的坐标为(0,3)，顶点为M。（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F。①连接AF，当∠AFE=90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值；②连接CA、CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MP+(√2/2)·BP的值最小时，求△BPE的面积。 |
【答案】 （1）y=−x²+2x+3；（2）①r/R=√2−1；②△BPE的面积为2或3或(10−√10)/3。 提示：作PQ⊥x轴，PQ=BP·sin45°=(√2/2)BP，故MP+(√2/2)BP=MP+PQ，当M、P、Q共线且MQ⊥x轴时取最小；②分F在∠ACE平分线、∠CAE平分线及E、F重合于O三种情形分类讨论。 【考查】二次函数综合、内切圆外接圆、胡不归最值、分类讨论。 【来源】四川达州2025年第24题。 |
练习4（较难★★★）：加权费马点（旋转构造）
图15 图1旋转构造等边△PCP′；图2 B、P、P′、A′共线时取最小；图3钝角情形
图16 加权费马点：总成本=a(PA+PB+√2·PC)，按√2权重旋转构造
【练习】 1643年法国数学家费马提出：给定不在同一直线上的三点A、B、C，求平面上到这三点距离之和最小的点（费马点）。（1）当△ABC的三个内角均小于120°时，将△APC绕点C顺时针旋转得到△A′P′C，连接PP′。由PC=P′C，∠PCP′=60°，可知△PCP′为①____三角形，故PP′=PC，又P′A′=PA，故PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′；由②____可知，当B、P、P′、A′在同一直线上时取最小值，此时P为费马点，且有③____；当有一个内角大于或等于120°时费马点为该三角形某顶点，若∠BAC≥120°，则费马点为④____点。（2）在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，P为费马点，求PA+PB+PC的值；（3）村庄A、B、C连线构成三角形，AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°，中转站P到A、B、C的铺设成本分别为a元/km、a元/km、√2a元/km，使总成本最低的铺设成本为____元。（结果用含a的式子表示） |
【答案】 （1）①等边；②两点之间线段最短；③∠BPC=∠CPA=∠APB=120°；④A。（2）5。（3）2√13a。 提示：（2）旋转60°后∠BCA′=90°，在Rt△A′CB中A′B=√(3²+4²)=5；（3）总成本=a(PA+PB+√2·PC)，按权重√2旋转构造等腰直角三角形，当B、P、P′、A′共线时总成本最小，为2√13a。 【考查】费马点新定义、旋转化折为直、加权系数构造。 【来源】湖北随州2023年第23题。 |
练习5（较难★★★）：最大值变式（MQ+√2·CQ）
图17 抛物线y=−x²+2x+3，M为第一象限抛物线上一动点，求MQ+√2·CQ的最大值
【练习】 如图，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1。（1）直接写出点B的坐标；（2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值；（3）第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BM交y轴于点Q，依题意补全图形，当MQ+√2·CQ的值最大时，求点M的坐标。 |
【答案】 （1）B(3,0)；（2）P(1,2)，最小值为3√2；（3）M(5/2,7/4)。 提示：设M(m,−m²+2m+3)，则Q(m,−m+3)，MQ=−m²+3m；由∠OBC=45°得BQ=√2·BN=√2(3−m)，CQ=√2·m；MQ+√2·CQ=−m²+5m=−(m−5/2)²+25/4，当m=5/2时取最大值。 【考查】二次函数、轴对称最短路径、二次函数求最值。 【来源】宁夏2023年第25题。 |
练习6（压轴★★★★）：二次函数中的阿氏圆最值
图18 抛物线y=−x²−2x+4与直线AB、AC，M为⊙E上一动点，求1/2·AM+CM的最小值
【练习】 如图，抛物线y=−x²+bx+c与直线AB交于A(−4,−4)、B(0,4)两点，直线AC：y=−1/2·x−6交y轴于点C。点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G。（1）求抛物线y=−x²+bx+c的表达式；（2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心、EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求1/2·AM+CM的最小值。 |
【答案】 （1）y=−x²−2x+4；（2）G(−2,4)；（3）①E(−2,0)、H(0,−1)；②最小值为5√5/2。 提示：②EH=√5，取EG中点P使PE/ME=ME/AE=1/2，证△PEM∽△MEA得PM=½AM，于是½AM+CM=PM+CM≥PC；P(−5/2,−1)、C(0,−6)，PC=√((5/2)²+5²)=5√5/2。 【考查】二次函数综合、平行四边形、矩形、阿氏圆最短路径。 【来源】甘肃兰州2017年第28题。 |
六、二级结论
1．胡不归通式：动点P在定直线l上，PA+k·PB（0<k<1）的最小值，等于定点A到“以B为顶点、与l夹角θ满足sinθ=k的射线”的垂线段长；取等时P在该垂线段与l的交点处。
2．系数大于1的处理：先提公因数把系数化为小于1，如2EN+BN=2(EN+½BN)，再按通式构造。
3．圆上动点（阿氏圆）：P在⊙B上，PC+k·PA的最小值，等于取定比分点F（BF=BP·k）后线段CF的长，取等时C、P、F共线。
4．常用系数对应角：k=1/2对应30°角，k=√2/2对应45°角，k=√3/2对应60°角；k为一般无理数（如√5/2）时，用直角三角比或母子相似直接构造。
5．加权费马点：权重√2对应旋转90°，权重1对应旋转60°（等边三角形构造）；化折为直后求两点间距离。
6．对称＋垂线段型：BM+MN（M在定直线上）的最小值，先作B关于定直线的对称点B′，最小值等于B′到MN所在直线的垂距。
7．最大与最小之辨：求“MQ+√2·CQ的最大值”时，先用45°等腰直角三角形把√2·CQ化成线段，再配方成二次函数求最大值。
七、题库题目来源对照表
序号 | 题号 | 题型 | 难度 | 省份/地区 | 年份题号 | 题目ID |
例1 | 例1 | 解答 | 基础★ | 四川凉山州 | 2024年第26题 | ZQ-2024-凉山州-解答-007 |
例2 | 例2 | 填空 | 基础★ | 黑龙江龙东 | 2025年第18题 | ZQ-2025-龙东-填空-018 |
例3 | 例3 | 解答 | 中等★★ | 山东烟台 | 2023年第24题 | ZQ-2023-烟台-解答-024 |
例4 | 例4 | 解答 | 中等★★ | 湖北黄石 | 2023年第25题 | ZQ-2023-黄石-解答-025 |
例5 | 例5 | 解答 | 较难★★★ | 四川眉山 | 2025年第25题 | ZQ-2025-四川眉山-解答-025 |
例6 | 例6 | 解答 | 较难★★★ | 山东烟台 | 2026年第24题 | ZQ-2026-山东烟台-解答-024 |
练1 | 练习1 | 解答 | 中等★★ | 四川遂宁 | 2025年第25题 | ZQ-2025-四川遂宁-解答-025 |
练2 | 练习2 | 选择 | 中等★★ | 四川宜宾 | 2024年第12题 | ZQ-2024-四川宜宾-选择-012 |
练3 | 练习3 | 解答 | 较难★★★ | 四川达州 | 2025年第24题 | ZQ-2025-达州-解答-024 |
练4 | 练习4 | 解答 | 较难★★★ | 湖北随州 | 2023年第23题 | ZQ-2023-随州-解答-023 |
练5 | 练习5 | 解答 | 较难★★★ | 宁夏 | 2023年第25题 | ZQ-2023-宁夏-解答-025 |
练6 | 练习6 | 解答 | 压轴★★★★ | 甘肃兰州 | 2017年第28题 | ZQ-2017-兰州-解答-028 |
