中考总复习 第30讲:锐角三角函数
四季读书网
5
中考总复习 第30讲:锐角三角函数
锐角三角函数，本质是直角三角形里三条边的比值。一个锐角确定了，三组比值就都确定了——与三角形画得多大毫无关系。这是它全部奥义。
核心：sin=对/斜，cos=邻/斜，tan=对/邻；值只随角变，不随大小变在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，对锐角 A 来说：对边是 BC，邻边是 AC，斜边是 AB。
sin A = 对边/斜边，cos A = 邻边/斜边，tan A = 对边/邻边
sin A = 对边 / 斜边；cos A = 邻边 / 斜边；tan A = 对边 / 邻边。三者关系：tan A = sin A / cos A。一图速记：记住 30°-60°-90°（1 : √3 : 2）与 45°-45°-90°（1 : 1 : √2）两个三角形，30°、45°、60° 的值一眼读出
30°：sin = 1/2，cos = √3/2，tan = √3/3。45°：sin = cos = √2/2，tan = 1。60°：sin = √3/2，cos = 1/2，tan = √3。锐角 A 增大时：sin、tan 增大，cos 减小。互余两角（和为 90°）满足 sin A = cos(90° − A)。
sin 30° = cos 60° = 1/2；sin 60° = cos 30° = √3/2——互余关系最好用的证据。上了高中，三角函数换了个更统一的说法：在单位圆里，一个角的终边与圆的交点 P，横坐标就是 cos，纵坐标就是 sin。初中记的"对斜、邻斜、对邻"，在单位圆里变成两段投影。
单位圆：P(cosα, sinα)；余弦线是横投影、正弦线是竖投影、正切线在 x = 1 的切线上（长 = tanα）
单位圆（半径 1）：角的终边交圆于 P(cosα, sinα)。余弦线 = 横投影（P 的横坐标）；正弦线 = 竖投影（P 的纵坐标）。正切线画在 x = 1 的切线上，长度就是 tanα。看象限定符号：第一、二象限 sin 都为正；cos 第一象限为正、第二象限为负。口诀：全正 · 正弦 · 正切 · 余弦——依次对应一、二、三、四象限。
第一象限：sin + 、cos + 、tan +第二象限：sin + 、cos − 、tan −第三象限：sin − 、cos − 、tan +第四象限：sin − 、cos + 、tan −这一讲真正要带走的一句话：同一个角，或者两个相等的角，它们的同名三角函数值一定相等。单位圆里看得最清楚——角相同 → 终边相同 → 与单位圆交于同一点 P，横纵坐标（cos、sin）自然相同。
同角或等角：sin、cos、tan 都一一对应；角不同，值一般不同这条在压轴题里极常用。题目一旦出现"两个角相等""角的存在性"或"求两段的比"，第一反应就应该是：把角换成同名三角函数，用相等的函数值去列比例、列方程。母题七给一个原型。
Rt△ABC，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5，求 sin A。
对边 BC = 3，斜边 AB = 5 → sin A = 3/5。Rt△ABC，∠A = 30°，斜边 AB = 10，求 BC。
sin 30° = BC/AB = 1/2 → BC = 10 × 1/2 = 5。tan 45° = 1，sin 30° = 1/2 → 1 + 1/2 = 3/2。已知 sin 35° ≈ 0.574，求 cos 55°。
cos 55° = cos(90° − 35°) = sin 35° = 0.574。已知 α 是第二象限角，判断 sin α、cos α、tan α 的正负。
第二象限：sin + 、cos − 、tan −（口诀"全正·正弦·正切·余弦"里的"正弦"即第二象限）。抛物线 y = x² − 2x − 3 与 x 轴交于 A(−1, 0)、B(3, 0)，抛物线上是否存在点 P，使 tan∠PAB = 1？
tan∠PAB = 1 → ∠PAB = 45° → 直线 AP 与 x 轴成 45°，斜率 k = ±1。过 A(−1, 0) 取 k = 1：y = x + 1，交抛物线 x + 1 = x² − 2x − 3 → x = 4 或 −1，得 P(4, 5)；取 k = −1：y = −(x + 1)，交抛物线 −x − 1 = x² − 2x − 3 → x = 2 或 −1，得 P(2, −3)。所以存在两点：P(4, 5) 与 P(2, −3)。Rt△ABC，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3。D 是 BC 上一点，DE ⊥ AB 于 E。已知 BD = 1.6，求 DE 的长。
AB = √(4² + 3²) = 5。∠B 是 Rt△ABC 与 Rt△DBE 的公共角 → 两处的 sin∠B 相等。Rt△ABC：sin∠B = AC/AB = 4/5；Rt△DBE：sin∠B = DE/BD → DE = BD × sin∠B = 1.6 × 4/5 = 1.28。练习1：Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，AB=5，求 cos A。
练习3：sin 45° + cos 45° 等于多少？
练习5：已知 sin A = cos 40°（A 为锐角），求 A。
练习6：α = 120° 是第二象限角，求 sin α 与 cos α。
练习7：Rt△ABC，∠C = 90°，CD ⊥ AB 于 D。已知 AC = 5，BC = 12，求 AD。
1. cos A = AC/AB = 4/5。2. sin 60° = √3/2 → BC = 8 × √3/2 = 4√3。3. √2/2 + √2/2 = √2。4. tan 30° = √3/3。5. 互余：A = 90° − 40° = 50°。6. sin 120° = sin 60° = √3/2；cos 120° = −cos 60° = −1/2。7. AB = 13，cos∠A = AC/AB = 5/13 = AD/AC → AD = 5 × 5/13 = 25/13（同角 cos∠A 在两直角三角形中相等）。锐角三角函数一句话：记牢"对斜、邻斜、对邻"和 30°/45°/60° 的表，下一讲就用它们解直角三角形、测高测距。
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至23467321@qq.com举报，一经查实，本站将立刻删除;如已特别标注为本站原创文章的，转载时请以链接形式注明文章出处，谢谢！
