非格数学 · 模型精讲
将军饮马：一条对称线，解掉一整类「最短」题
初二轴对称 · 把折线拉成直线的通用解法
「在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 最小」——这样的题，期中、期末、中考几乎每次换个说法出现：有时是三角形周长最小，有时是四边形周长最小，有时是「到两条河的距离之和最短」。名字换了很多，解法只有一个：作对称，把折线拉成直线。
一、模型长什么样
先看最基础的样子：直线 l 的同侧有两个定点 A、B，P 是 l 上一动点，求 PA + PB 的最小值。
图 1 作 A 关于 l 的对称点 A′，连 A′B 交 l 于 P
动点 P 一动，两条线段 PA、PB 的长度都在变，看起来无从下手。但只要把 A 关于 l 「翻」到另一侧，问题立刻变简单。
二、为什么这样作：三句话说清原理
第一句：对称不改变距离。作 A 关于 l 的对称点 A′，则 l 上任意一点 P 都满足 PA = PA′。这是轴对称最基本的性质——对应线段相等。
第二句：把折线换个起点。于是 PA + PB = PA′ + PB，问题变成「从 A′ 出发，经过 l 上的 P，再走到 B」。
第三句：两点之间线段最短。无论 P 在 l 上哪个位置，PA′ + PB 都不小于 A′B；只有当 A′、P、B 三点共线时，才取到等号。
PA + PB = PA′ + PB ≥ A′B
所以：P 就是 A′B 与 l 的交点，最小值就是 A′B 的长。一句话记住——同侧作对称，异侧直接连。
三、四步操作法
定 先找动点：P 在哪条直线上动，那条直线就是对称轴。
作 作其中一个定点关于这条直线的对称点（两个都行，选好算的那个）。
连 连接对称点与另一个定点，与直线的交点就是 P。
证 用「两点之间线段最短」说明它最小，再算出长度。
四、一道例题走完流程
题：正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，P 是对角线 BD 上一动点，求 PE + PC 的最小值。
图 2 C 关于 BD 的对称点是 A，PE + PC 的最小值即 AE
第一步，定：P 在 BD 上动，所以对称轴是 BD。
第二步，找对称点：正方形中 BD 是 AC 的垂直平分线，所以 C 关于 BD 的对称点正是 A。这一步是全题的题眼——看不出来，画个图也能发现 AC 与 BD 互相垂直平分。
第三步，连：连接 AE，交 BD 于 P。此时 PE + PC = PE + PA ≥ AE。
第四步，算：在 Rt△ABE 中，AB = 4，BE = 2，由勾股定理得：
AE = √(AB² + BE²) = √(4² + 2²) = 2√5
所以 PE + PC 的最小值是 2√5，此时 P 为 AE 与 BD 的交点。
小提示：这一步用到勾股定理。人教版的同学如果还没学到，先把「作对称、连直线」的方法吃透，长度计算等学完勾股定理再回来补，不影响方法本身。
五、四类变式，一次看清
图 3 四种常见变式的作图方式
两个容易混的点：
③ 求 |PA − PB| 最大，和「求和最小」正好相反：求和要作对称，求差要直接连。因为两点同侧时，P 在 AB 延长线与 l 的交点处，两段之差恰好等于 AB，其他位置都小于 AB。
④ 角内求周长最小，是「作两次对称」：P 关于 OA、OB 分别对称得到 P₁、P₂，连 P₁P₂ 与两边的交点就是 M、N，此时 △PMN 的周长正好等于 P₁P₂ 的长。
还有两个高频变式，见到了别慌：
造桥选址——河两岸平行、桥垂直于河岸，桥长固定，先把一个点沿垂直方向平移「河宽」，再连直线；
四边形周长最小——两个动点，作两次对称，把四条边拉成一条直线，本质和 ④ 一样。
六、三个最容易丢分的点
1. 对称轴找错。P 在哪条线上动，就关于哪条线作对称，不是关于「看起来对称」的那条。例题里 P 在 BD 上动，对称轴就是 BD，而不是 AC。
2. 只画图，不写理由。解答题一定要写出这一句：「由对称可知 PA = PA′，故 PA + PB = PA′ + PB ≥ A′B，当 A′、P、B 共线时取等号。」这不是废话，是过程分。
3. 算出最小值就收笔。题目若还问「此时 P 的位置」或「求 P 点坐标」，要再答一步——把 P 的坐标或位置说明清楚，否则最后一问仍然扣分。
七、一分钟自测
1. 直线 l 的同侧有 A、B 两点，请用尺规作图作出 l 上使 PA + PB 最小的点 P，并说明理由。
2. 正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，P 在 BD 上运动，则 PE + PC 的最小值为 ______。
参考答案
1. 作 A 关于 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于 P，点 P 即为所求。理由：PA = PA′，所以 PA + PB = PA′ + PB ≥ A′B，当 A′、P、B 三点共线时取到最小值。
2. √5。C 关于 BD 的对称点是 A，连 AE 交 BD 于 P，AE = √(2² + 1²) = √5。
八、对自己说的话
看到「最短」「最小」，先别急着算，先找那条能让点动起来的直线。
对称点作对，题就做完了一半；剩下的只是把长度算出来。
作图题记得写理由——那不是废话，是分数。
如果这篇对你有用，欢迎转给正在学轴对称的同学。
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