压轴题精讲：2026 北京中考第 28 题「单弧三角形」

第 28 题是全卷最后一题，考的是一个新定义的图形——“单弧三角形”。这类题并不要求你提前见过它，只要求你现场把定义读清楚、用准确。下面按“先看题、再逐问解、最后小结”的顺序讲一遍。

一、题目

1. 对于不共线的三点 ，，，连接 ，，并作劣弧 ，使得  所在圆的圆心在过点  且与  平行的直线上，称由 ， 和  组成的图形为单弧三角形，记作 ，其中  所在圆的圆心称为  的弧心．

在平面直角坐标系  中，

（1）如图 1，点 ，，，直接写出  的弧心的坐标及  的长；

（2）如图 2，点 ，，当  的弧心为  时，求点  的坐标；

（3）已知点 ，对于平面内的点 ，存在点 ， 满足  和  的弧心均为 ， 和  都不是钝角三角形，且 ，记  的横坐标为 ，直接写出  的取值范围．

二、先把定义读成两句话

定义里关于弧心的要求只有一句，但它包含两个条件，缺一不可：

1. 弧心是  所在圆的圆心，所以它到 、 的距离相等——弧心在  的垂直平分线上；
2. 弧心在“过点  且与  平行的直线”上——这是一条位置约束。

把两句话合起来：弧心 =  的垂直平分线与“过  平行于  的直线”的交点。两条线一般只交于一点，弧心由此唯一确定。

后面三小问，其实都是在这两句话上做文章：给点求弧心（正向用），给弧心求点（反向用），最后把动点问题化简。

三、第（1）问：正向用定义

已知，，。

、 的纵坐标都是 1，所以  平行于  轴；过  且平行于  的直线是 ，故弧心的纵坐标为 。

弧心到 、 等距，而 、 的横坐标分别为  和 ，其中点为 ，故弧心的横坐标为 。

半径 。 到 、 的向量分别为  与 ，数量积为 0，所以圆心角 ，

这一问的作用是演示定义怎么用：弧心是两条约束线的交点，弧长按圆心角占比算。

四、第（2）问：反向用定义

已知，， 的弧心恰为原点 ，求  的坐标。

这一问要反过来用定义：弧心已知是 ，那就把定义里的两条要求逐条翻译成关于  的等式。

定义条件	翻译成等式
是 所在圆的圆心	即  ①
在过  且平行于  的直线上	即斜率相等 ②

由②：，而 ，所以

代入①：

 时 ， 与  重合，弧不存在，舍去；故 ，，即

这一问的套路很固定：新定义题的中段，都是把定义里的每一条文字约束翻译成一个方程，再联立求解。

五、第（3）问：难点在“最有利条件”

设定： 固定，、、 都可以动，要求  和  的弧心都是 ，、 都不是钝角三角形，且 ，求  的横坐标  的取值范围。

这一问条件多、动点多，看着乱。下面分五步把它理清。

1. 弧心为 ，把  和 、 各限制在哪里

先说 。“ 的弧心是 ”意味着  是  所在圆的圆心，所以 。，于是  只能在单位圆上。

再说 、。对  而言，弧心  必须落在“过  且平行于  的直线”上；对  同理， 必须落在“过  且平行于  的直线”上。而过  平行于  的直线只有一条，所以这两条直线其实是同一条：、、 三点共线，记这条直线为 。

这是全题的转折点——看起来有三个动点各自乱跑，其实 、 都只能待在同一条直线上。

2. 把这条直线“摆正”来看

设  在单位圆上，。因为 ， 在  的垂直平分线上；而  过  平行于 ，所以  与  的垂直平分线垂直，、 到  的距离相等（注意：它们都在直线  上，而  是  的平行线，所以是同侧，不是分居两侧）。

把 、 向  作垂线，垂足记为 、。因为 ，所以 ；又由对称性， 是  的中点。于是

也就是说：在这条直线上，、 是一对关于  对称的固定参照点。

下面这张图把  画成水平线，这一步“摆正”之后，上面这些关系一眼就能看出来：

如果把  上以  为原点、沿  方向的坐标记为 ，那么 、 的坐标分别是  和 。下面反复提到的“允许范围”，就是指这一段

必要时再从中间挖掉一小段。

3. “不是钝角三角形”把直线裁成一段

现在看  上的任意一点 ，问： 什么时候不是钝角三角形？三个角都要不超过 。

• 角 （即 ）： 要与  成锐角或直角， 必须落在  靠  的一侧（含 ）； 在  处恰好成 ，再往左就变钝角。

• 角 （即 ）：同理， 必须落在  靠  的一侧（含 ）。

• 角 （即 ）：只有当  落在以  为直径的圆内部时才会是钝角——这需要单独检查。

前两条合起来说明： 只能在  与  之间，而这一段的长正好是 。这正是“允许范围”的主体。

再看第三条。以  为直径的圆，圆心记作 （ 的中点），半径是 ；由直角三角形 （），

而 ，所以  到  的距离就是 。于是：

• 当  时，，这个圆与直线 相离，角  的条件自动满足，允许范围就是整整一段 ；

• 当  时，这个圆与 相交，允许范围中间被挖掉一小段。

这两种情形画出来是这样的（绿色粗线是允许范围，红色粗线是被挖掉的一段）：

4. 为什么要找“最有利条件”，它为什么是“、 关于原点对称”

到这里，问题已经变成一个很朴素的问题：

两点之间要相距 1，当然希望它们离得越远越好。而允许范围是关于  对称的（、 关于  对称，被挖掉的小段也关于  对称），所以在允许范围里取得最大距离的位置，就是这段的两个端点——这时 、 恰好关于原点对称。

这就是“找最有利条件”的道理：

• 如果连最有利的位置（两端）都放不下相距 1 的两点，那别的摆法更不可能，此时无解；

• 如果最有利的位置恰好能放下，这个位置就是边界—— 的取值范围的两个端点由它决定。

所以不必去研究一般情形，只需要看“最有利”这一种摆法。下面分别看  转得快（ 大）和转得慢（ 小）两种极端。

5. 上临界： 最大是多少

 刚离开  时， 还小，，允许范围是完整的一段，长度就是 （也等于 ）。

要在这一段里放下相距 1 的两点，必须

即 。

取等号时（，），允许范围的长度刚好是 1，两点只能落在两个端点上，于是：

• 、 关于原点对称；

• ，四边形  是矩形，；

•  三边都是 1，是等边三角形，。

6. 下临界： 最小是多少

 继续沿圆转， 超过  后  变负，以  为直径的圆与  相交。算出被挖掉的小段长度：由勾股定理，它的半宽为

挖掉以后，允许范围断成两段，而每一段的长度都小于 1（因为整段长 、减去被挖部分后必然不足 1）。所以相距 1 的两个点只能分居被挖段的两侧，这就要求被挖掉的小段不能太长：

取等号时，、 恰好贴在被挖段的两端，仍然关于原点对称；此时 ，、 都落在以  为直径的圆上。

7. 答案

六、小结

这道题最后一步的难，不在计算，而在“把条件看准”。整道题只做了两件事：

第一，把弧心条件翻译成几何位置。弧心为  有两条要求，一条给出“ 在单位圆上”，另一条把 、 一起压到同一条直线上——三个乱跑的动点，一下就变成“直线上的两个点”。

第二，把“非钝角三角形”翻译成直线上的允许范围。三个角都不超过 ，在直线上就是一段以  为中心的区间； 转过  之后，这段区间中间再被挖去一小段。

至于“最有利条件”，它是取值范围问题的通用做法：允许范围关于  对称，两点要相距 1，自然应该把它们放在区间的两端，这时 、 关于原点对称，距离最大。最有利都不行，就一定无解；最有利恰好行，就得到边界。上边界  来自“区间长度要够 1”，下边界  来自“被挖掉的空隙不能超过 1”。

以后遇到“存在动点满足某条件，求某量的取值范围”，都可以先问一句：这些点被限制在哪里？最宽松（最有利）的情形是什么样？

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