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第1天·2024新高考I卷·函数性质与零点
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第1天·2024新高考I卷·函数性质与零点 来源：2024年新课标全国I卷·第10题（多选题） 考点：三次函数的图像与性质、极值点、函数值比较 分值：6分 建议用时：8-10分钟 难度：⭐⭐⭐ 题目 设函数f(x)=(x-1)²(x-4)，则（） A. x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x²) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 手写区 （请先独立完成，再往下翻看解析） 解析 第一步：求导，找极值点 f(x)=(x-1)²(x-4) 用乘法法则求导： f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)² =(x-1)[2(x-4)+(x-1)] =(x-1)(2x-8+x-1) =(x-1)(3x-9) =3(x-1)(x-3) 令f'(x)=0，得x=1或x=3。 第二步：分析单调性 当x<1时，f'(x)>0，f(x)递增。 当1<x<3时，f'(x)<0，f(x)递减。 当x>3时，f'(x)>0，f(x)递增。 所以x=1是极大值点，x=3是极小值点。 A选项正确。 第三步：验证B选项 当0<x<1时，x²<x，且x²∈(0,1)。 f(x)=(x-1)²(x-4)，因为x<1，x-1<0，所以(x-1)²>0，x-4<0，f(x)<0。 f(x²)=(x²-1)²(x²-4)，x²<1，x²-1<0，所以(x²-1)²>0，x²-4<0，f(x²)<0。 比较f(x)和f(x²)：需要看具体数值。 取x=0.5：f(0.5)=(0.5-1)²(0.5-4)=0.25×(-3.5)=-0.875。 f(0.25)=(0.25-1)²(0.25-4)=0.5625×(-3.75)=-2.109。 所以f(0.5)=-0.875>f(0.25)=-2.109，即f(x)>f(x²)。 B选项说f(x)<f(x²)，错误。 第四步：验证C选项 当1<x<2时，2x-1∈(1, 3)。 f(2x-1)=(2x-2)²(2x-5)=4(x-1)²(2x-5)。 当1<x<2时，x-1>0，所以(x-1)²>0。 2x-5的符号：当1<x<2.5时，2x-5<0，所以f(2x-1)<0。 要求-4<f(2x-1)<0，即f(2x-1)在(-4, 0)之间。 令g(x)=4(x-1)²(2x-5)。g(1)=0，g(2)=4×1×(-1)=-4。 当x从1增加到2时，g(x)从0递减到-4（因为2x-5从-3变到-1，(x-1)²从0变到1，乘积从0变到-4）。 所以-4<g(x)<0成立。 C选项正确。 第五步：验证D选项 当-1<x<0时，2-x∈(2, 3)。 f(2-x)=(1-x)²(-2-x)，因为2-x在(2,3)，2-x-1=1-x>1，2-x-4=-2-x<0，所以f(2-x)<0。 f(x)=(x-1)²(x-4)，x∈(-1,0)，x-1∈(-2,-1)，(x-1)²∈(1,4)，x-4∈(-5,-4)，所以f(x)<0。 比较f(2-x)和f(x)：取x=-0.5。 f(2.5)=(1.5)²(-1.5)=2.25×(-1.5)=-3.375。 f(-0.5)=(-1.5)²(-4.5)=2.25×(-4.5)=-10.125。 所以f(2.5)=-3.375>f(-0.5)=-10.125，即f(2-x)>f(x)。 D选项正确。 第六步：最终答案 A、C、D正确，B错误。 答案：ACD 易错点提醒 第一个坑：求导时漏项。 f(x)=(x-1)²(x-4)，求导时容易漏掉(x-1)²的导数2(x-1)。正确做法是用乘法法则：(uv)'=u'v+uv'。 第二个坑：B选项的判断方向搞反。 在(0,1)上，f(x)和f(x²)都是负数，比较的是“谁更负”。-0.875>-2.109，说明f(x)>f(x²)，不是f(x)<f(x²)。 第三个坑：C选项忘记验证端点。 f(2x-1)在1<x<2上的范围，需要确认端点值。g(1)=0，g(2)=-4，所以-4<g(x)<0成立。 第四个坑：多选题漏选或多选。 多选题的规则是“全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分”。本题A、C、D都对，B错，所以选ACD。 真题规律总结 2024新高考I卷的函数题特点是：基础性与综合性并重。这道题把三次函数的极值、单调性、函数值比较融合在一起，考查的是对函数图像的整体把握，而不是机械计算。 备考建议：遇到三次函数，先求导找极值点，画草图，然后逐个选项验证。不要试图一次性“看穿”所有选项，逐个验证是最稳的做法。
