高中数学|《圆与方程》-高考&联考全考点汇总

定位：新高考全国卷，解析几何核心板块，选择填空高频，大题必考；常独立命题，也会和直线、圆锥曲线综合。本章节计算量大，几何性质是突破口，联考喜欢设置多选、距离最值、定点定值难题。

一、圆的定义与标准方程

1. 圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点：圆心，决定圆的位置；定长：半径，决定圆大小。 几何语言：

2. 圆的标准方程

圆心，半径。

易错：，括号内是减号！如，圆心横坐标是。

✅解题技巧

1. 已知圆心、半径直接写标准方程；
2. 已知直径两端点：圆心是中点，半径是直径长度的一半；
3. 求圆标准方程核心思路：求圆心+求半径。

📌高考&联考对应题型

1. 单选：直接求圆标准方程、由方程读出圆心半径；
2. 多选：判断点与圆位置关系、圆方程概念辨析；
3. 大题第一小问：根据几何条件求圆方程（给定三点、直径、切线条件）。

二、圆的一般方程

配方：

成立条件：

• 圆心：
• 半径：

区分：

• ：表示圆；
• ：一个点（点圆）；
• ：无轨迹，不存在图形。

✅解题技巧

1. 已知圆上三点，优先设一般方程，代入三点解三元一次方程组；
2. 题目含参数，一定要先检验判别式，排除不是圆的情况；
3. 大题求圆方程，最后可按需转化标准方程方便看圆心半径。

📌高考&联考对应题型

1. 单选填空：由一般方程求圆心半径、判断方程是否代表圆；
2. 多选：含参数的圆方程，判断参数取值范围；
3. 解答题：三点求圆方程，是联考基础大题高频考法。

三、点、直线与圆的位置关系

1. 点与圆位置关系

圆，点计算

• ：点在圆外
• ：点在圆上
• $|PC|

快速判断：代入左边，和比较大小，不用开根号。

2. 直线与圆位置关系（重中之重）

圆圆心，半径；直线计算圆心到直线距离

• ：相离，无交点；
• ：相切，1个公共点，切线；
• d＜r；相交，2个公共点，弦

弦长公式（必考）：

几何模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形（勾股定理，本章核心模型）

✅解题技巧

1. 判断直线和圆位置关系优先几何法（距离d和r），计算远快于联立判别式；
2. 求弦长：永远优先弦长公式，不要硬联立求两点再距离；
3. 已知弦长反求参数：用反解。

📌高考&联考对应题型

1. 单选填空：判断位置关系、弦长计算、已知弦长求参数；
2. 多选：直线与圆位置关系多结论判断；
3. 解答大题：直线与圆相交，求弦长、求参数范围；切线问题。

四、圆的切线方程（高频考点）

1. 过圆上一点的切线

圆标准方程切线方程：特例：圆心在原点，圆上点，切线：

2. 过圆外一点求切线

两条切线。 方法：设切线，转化一般式；圆心到直线距离，解； ⚠️必须单独检验斜率不存在的竖直线是否为切线（极易漏解）。

✅切线二级结论（选填提速，大题需推导）

1. 切线长公式：圆外一点，到圆

1. 切点弦方程：圆外一点，两切点连线方程，直接套用上面圆上点切线公式形式。

✅解题技巧

1. 看到切线，核心条件：圆心到切线距离等于半径；
2. 过圆外一点切线，算出斜率后，一定要检验竖直直线是否满足；
3. 切线长、切点弦是联考多选、填空压轴常考模型。

📌高考&联考对应题型

1. 单选填空：求切线方程、切线长；
2. 多选：切点弦、切线性质综合判断；
3. 大题：求切线，结合面积、最值。

五、两圆的位置关系

设圆半径，圆半径，圆心距

1. ：外离，4条公切线
2. ：外切，3条公切线
3. $|r_1-r_2|
4. ：内切，1条公切线
5. ：内含，无公切线

两圆相交公共弦方程：两圆方程直接相减，消去二次项，得到公共弦直线方程。

✅解题技巧

1. 判断两圆位置关系，优先算圆心距，对比半径和/差，不用联立；
2. 求公共弦：方程相减一步写出，再用圆心到直线距离求弦长；
3. 公共弦垂直于两圆心连线。

📌高考&联考对应题型

1. 单选多选：判断两圆位置关系、公切线条数；
2. 填空：求公共弦方程、公共弦弦长；
3. 联考中档题：已知两圆位置求参数范围。

六、圆中的最值问题（填空/多选压轴热门）

模型1：圆上一点到定点距离最值

定点，圆心半径

• 最大值：
• 最小值：

模型2：圆上一点到定直线距离最值

圆心到直线距离

• 最大值：
• 最小值：

模型3：斜率型最值

：圆上动点与定点连线斜率范围，几何转化为过定点的直线与圆有交点。

✅解题技巧

优先几何法，画图！ 尽量不使用代数联立求函数最值，几何法速度更快、计算更少。

📌高考&联考对应题型

1. 填空压轴：距离最值、斜率最值；
2. 新高考多选：多个最值结论辨析；
3. 常和将军饮马、对称综合命题。

七、圆系方程（大题提速工具）

两圆，圆系方程：

• ：退化为直线，即两圆公共弦；
• ：表示过两圆交点的圆（不含）。

拓展：直线与圆交点圆系 圆+直线：，表示过直线与圆交点所有圆。

✅解题技巧：求过直线与圆交点的圆方程，不用求交点，直接圆系设方程。

📌高考&联考对应题型

联考大题，求过交点的圆方程，减少联立计算。

八、二级结论&拓展（选填提速，大题不能直接写）

1. 直径式圆方程：直径端点，原理：直径所对圆周角为直角，向量垂直。
2. 圆内一点，最短弦：垂直于该点与圆心连线；最长弦：过该点的直径。
3. 同圆中，等弦对等距；弦越长，弦心距越小。

九、高考&联考本章节命题规律

✅新高考全国卷命题特点

1. 单独命题：选择、填空基础或中档题；
2. 高频综合：直线+圆大题是解析几何第一大题，比圆锥曲线简单，属于拿分大题；
3. 命题偏好：几何性质优先，考察数形结合；计算以距离、勾股、弦长为主；
4. 难点：最值、切线、切点弦、含参数圆的定点问题。

✅联考（市统考、校联考）命题特点 增加多选综合判断、圆的定点定值、多几何条件融合，容易设置陷阱。

十、高频失分避坑清单（阅卷高频扣分点）

1. 标准方程符号陷阱：对应圆心；
2. 一般方程务必验证，否则不是圆；
3. 切线问题，容易漏掉斜率不存在的竖直线；
4. 两圆位置关系，区分圆心距和；
5. 公共弦方程，只适用于两圆相交；
6. 最值问题，定点在圆内/圆外，最大最小距离公式不一样，画图判断；
7. 弦长公式，一定要用圆心到直线距离，不要直接联立硬算，计算量大容易算错。

十一、考场通用解题流程（高考答题规范）

1. 读题，翻译几何条件：相切、相交、弦长、定点、距离最值；
2. 优先几何思路：找圆心、半径，算圆心距、圆心到直线距离；
3. 直线与圆相交，弦长直接用勾股弦长公式；
4. 切线核心条件：；
5. 含参数圆，优先寻找是否恒过定点；
6. 结果检验：特殊情况代入验证，不要漏掉斜率不存在；
7. 大题书写：二级结论只用来快速预判，答题必须写推导。