2024长春市数学中考压轴 文末有可拖动的动态演示

一、题目    

二、第 (1) 问：求函数表达式

把 (−2, −2) 代入 y = x² + 2x + c：
4 − 4 + c = −2，解得 c = −2。
所以 y = x² + 2x − 2 = (x+1)² − 3，对称轴 x = −1，顶点 (−1, −3)

三、第 (2) 问：证明 tan∠CAB 恒为 2

设 A(m, m²+2m−2)，B(−m, m²−2m−2)，则 C(−5m, m²+2m−2)。

第 1 步：A 与 C 纵坐标相同 → AC 是水平线段，长度 = |−5m − m| = 6|m|。
第 2 步：过 B 作 BH ⊥ AC 于 H(−m, m²+2m−2)。
第 3 步：AH = |−m − m| = 2|m|；BH = |y_A − y_B| = |4m| = 4|m|。

在 Rt△ABH 中，tan∠CAB = BH / AH = 4|m| ÷ 2|m| = 2。

m 是正是负，H 都在 AC 上，结论不变——这就是"恒为 2"。

                                 无论 m 正负：BH = 2×AH 永远成立

四、第 (3) 问：先摸清菱形的家底

直线 AB：A、B 都在抛物线上，容易算出直线 AB 的解析式是 y = 2x + m² − 2（斜率恒为 2）。
点 D：AC 的垂直平分线是竖直线 x = −2m（AC 中点横坐标），代入直线 AB 得 D(−2m, m² − 4m − 2)。
点 E：菱形 ADCE 中，对角线 AC、DE 互相平分，所以 E 与 D 关于 AC 中点 M(−2m, m²+2m−2) 对称， E(−2m, m² + 8m − 2)。

看清楚：DE 是竖直线段，AC 是水平线段——两条对角线一竖一横、互相垂直。菱形面积 = ½ × AC × DE，只要求出 m，面积就是乘法。

五、第 (3)① 问：DE 与对称轴重合时的面积

DE 在竖直线 x = −2m 上，要与对称轴 x = −1 重合，即 −2m = −1，m = ½。

此时 AC = 6|m| = 3，AM = 3/2。
关键一步：M 在 AC 上，所以 ∠MAD 就是 ∠CAB。在 Rt△AMD 中
tan∠MAD = DM / AM = 2 → DM = 2 × 3/2 = 3（第(2)问的钥匙在这里开锁！）。
所以 DE = 2DM = 6，
S = ½ × AC × DE = ½ × 3 × 6 = 9。

六、第 (3)② 问：内部部分"一路上升"的 m 范围

抛物线在对称轴 x = −1 左侧下降、右侧上升。要让"菱形内部的抛物线部分" y 随 x 增大而增大，这部分必须整体落在对称轴右侧（含从顶点出发的情形）。

什么时候会被破坏？顶点 (−1, −3) 钻进菱形内部——左支也进了菱形，先减后增，破坏单调性。所以所有临界时刻都是同一幅画面：

临界一（m < 0，AE 边过顶点）：AE 所在直线 y = −2x + m² + 4m − 2，代入 (−1, −3)：
m² + 4m + 3 = 0 → m = −1 或 m = −3。
−1 < m < 0：内部部分从 A（在顶点右侧）开始，✓；
−3 < m < −1：顶点在菱形内部，✗；
m ≤ −3：菱形整体右移变大，内部部分（从 AE 边进入）重新整体落在对称轴右侧，✓。

临界二（m > 0，CD 边过顶点）：CD 所在直线 y = −2x + m² − 8m − 2，代入 (−1, −3)：
m² − 8m + 3 = 0 → m = 4 ± √13，结合菱形位置取 m = 4 − √13。
0 < m ≤ 4 − √13：内部部分整体在右侧，✓；m 再大，顶点进入菱形，✗。

答案：m ≤ −3 或 −1 ≤ m < 0 或 0 < m ≤ 4 − √13（m ≠ 0）。

四个代表位置：绿=单调增的部分，红=越过对称轴的部分

七、拖一拖，三个临界自己"动"出来

m 从 −3.1 扫到 1.1：菱形先大后小再变形，绿色部分消失又出现的时刻，正是三个临界。想自己拖滑块、逐个预设位置查看，点下方二维码：

扫码打开可交互的动态演示（可拖动 m、一键跳转临界位置）

八、通法小结

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