高考一轮复习 · 集合 / 简易逻辑 / 复数 三合一 · 近年全国卷真题拆解与模拟训练
一、知识点精讲
本专题是高考一轮复习的开篇三块基础内容，分值不大但年年必考（通常选择题前 2 题），是整套试卷的"送分题"，必须稳拿。分三条线梳理：
1. 集合：表示法分列举法与描述法；三大运算为交集 A∩B、并集 A∪B、补集 ∁UA。解题核心是先化简再运算，区间端点注意开闭；德摩根律 ∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB 常作检验。
2. 简易逻辑：掌握全称量词 ∀ 与存在量词 ∃；充分、必要、充要条件的判定用"小范围推大范围是充分，大范围推小范围是必要"。集合视角下：A⊆B 时，"x∈A"是"x∈B"的充分不必要条件。
3. 复数：形如 z=a+bi（a,b∈R），实部 a、虚部 b；共轭 z̄=a−bi；模 |z|=√(a²+b²)。四则运算牢记 i²=−1；除法须分子分母同乘分母共轭；几何意义对应复平面上的点或向量。
二、高考真题分析
【真题1】(2025·新高考Ⅰ卷·第1题)
(1+5i)i 的虚部为（ ）
A. −1 B. 0 C. 1 D. 6
解析：(1+5i)i = i+5i² = i−5 = −5+i，实部为 −5，虚部为 1（注意虚部是实数 b，不含 i）。
答案：C
【真题2】(2025·新高考Ⅰ卷·第2题)
设全集 U={x∣x 是小于 9 的正整数}，集合 A={1,3,5}，则 ∁UA 中元素个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8
解析：U={1,2,3,4,5,6,7,8} 共 8 个元素，∁UA = U−A = {2,4,6,7,8}，元素个数为 5。
答案：C
【真题3】(2024·新高考Ⅰ卷·第1题)
已知集合 A={x∣−5<x³<5}，B={−3,−1,0,2,3}，则 A∩B=（ ）
A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}
解析：由 −5<x³<5 得 −∛5<x<∛5，即 ∛5≈1.71，A≈(−1.71,1.71)。B 中落在该区间的元素只有 −1 和 0，故 A∩B={−1,0}。
答案：A
【真题4】(2024·新高考Ⅰ卷·第2题)
若 z/(z−1)=1+i，则 z=（ ）
A. −1−i B. −1+i C. 1−i D. 1+i
解析：由已知得 z=(1+i)(z−1)=(1+i)z−(1+i)，移项得 iz=1+i，故 z=(1+i)/i = i(1+i)/i² = 1−i。
答案：C
【真题5】(2023·新高考Ⅰ卷·第1题)
已知集合 M={−2,−1,0,1,2}，N={x∣x²−x−6≥0}，则 M∩N=（ ）
A. {−2,−1,0,1} B. {0,1,2} C. {−2} D. {2}
解析：解 N：x²−x−6≥0 ⇒ (x−3)(x+2)≥0 ⇒ x≤−2 或 x≥3，即 N=(−∞,−2]∪[3,+∞)。M 中满足 x≤−2 的只有 −2，满足 x≥3 的没有，故 M∩N={−2}。
答案：C
【真题6】(2023·新高考Ⅰ卷·第2题)
已知 z=(1−i)/(2+2i)，则 z−z̄=（ ）
A. −i B. i C. 0 D. 1
解析：z=(1−i)/(2+2i)=[(1−i)²]/[2(1−i²)]=(1−2i+i²)/4=(−2i)/4=−i/2。则 z̄=i/2，故 z−z̄=−i/2−i/2=−i。
答案：A
【真题7】(2022·新高考Ⅰ卷·第7题)
设 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和，设甲：{an} 为等差数列；乙：{Sn/n} 为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是必要条件
解析：甲⇒乙：若 {an} 等差，Sn=na₁+n(n−1)d/2，则 Sn/n=a₁+(n−1)d/2，是等差数列。乙⇒甲：若 {Sn/n} 等差，可推得 an=a₁+2(n−1)D 亦为等差。两者互推，故为充要条件。
答案：C
三、模拟题解答
【模拟1】设 i 为虚数单位，若 z=3−4i，则 |z| 与 z·z̄ 的值分别为（ ）
A. 5，25 B. 7，25 C. 5，7 D. 25，5
解答：|z|=√(3²+(−4)²)=5；z̄=3+4i，z·z̄=(3−4i)(3+4i)=9+16=25（恒有 z·z̄=|z|²）。选 A。
答案：A
【模拟2】已知集合 A={x∣x²−3x+2≤0}，B={x∣1<x<4}，则 (∁RA)∩B=（ ）
A. (2,4) B. [1,2] C. (1,2) D. [2,4)
解答：解 A：x²−3x+2≤0 ⇒ (x−1)(x−2)≤0 ⇒ 1≤x≤2，即 A=[1,2]，∁RA=(−∞,1)∪(2,+∞)。与 B=(1,4) 相交得 (2,4)。选 A。
答案：A
【模拟3】已知 p：x>2，q：x²>4，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解答：p⇒q：x>2 必有 x²>4，充分；q⇏p：x²>4 解得 x>2 或 x<−2，不能推出 x>2（如 x=−3）。故 p 是 q 的充分不必要条件。选 A。
答案：A
四、同步学习建议
本周（2026-2027学年第3周）进入一轮复习基础模块，三块内容建议按"集合→逻辑→复数"顺序推进，每天 20 分钟即可闭环：
① 集合重"算准"：每天练 5 道交集并集补集小题，重点盯住区间端点的开闭与含参讨论，避免"看错端点"丢分。
② 逻辑重"判定"：充要条件的题一律用集合包含关系翻译——"小推大是充分"是秒判口诀，考试时直接画图验证。
③ 复数重"运算"：把 i²=−1、共轭、模、除法乘共轭四类运算各默算 3 题，保证前 2 道选择题零失误。
下周我们将进入《不等式与函数》模块，建议本周末用一套近三年新高考Ⅰ卷小题做限时自测，把基础分彻底锁死。
