初二基础篇 | 三角形的内角：内角和 180° 的四类考法（12题精练）

初中数学 · 人教版八上 13.3 · 基础篇

📌 本讲导读
"三角形三个内角的和等于 180°"——全章使用率最高的定理。本讲四类考法：求第三角、直角三角形互余、等腰三角形分类求角、与平行线/角平分线联动。12 题精练，要求每个角都写清"在哪一步用了内角和"。

一、知识清单

1. 内角和定理
三角形三个内角的和等于 180°。
推导套路：过一顶点作第三边的平行线，用"两直线平行，内错角相等"把三个角拼到一起。

2. 直角三角形的性质与判定
直角三角形两个锐角互余（和为 90°）；反过来，两个角互余的三角形是直角三角形。
符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A+∠B=90°。

3. 按角分类
三个角都锐角 → 锐角三角形；有一个直角 → 直角三角形；有一个钝角 → 钝角三角形。
⚠️ 任何三角形中最多一个直角/钝角，至少两个锐角。

4. 等腰三角形求角必分类
等腰三角形给出"一个角"时，这个角可能当顶角也可能当底角，两种情况都要算，再用"两底角相等+内角和"检验是否成立（顶角为钝角时不能当底角）。

💡 自查口诀：算完三个角，先加一加——和不是 180° 的答案，一定是错的。

二、题型精讲

题型 1求第三角
在 △ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，求 ∠C。

思路：∠C=180°−70°−60°=50°。
💡 基础中的基础，但中考按步给分，"内角和定理"四个字要写。

题型 2直角三角形互余
Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=35°，求 ∠B。

思路：两锐角互余：∠B=90°−35°=55°。
💡 直角三角形里求锐角，直接用 90° 减，比套 180° 快。

题型 3等腰三角形分类
等腰三角形一个角是 100°，求底角。

思路：100° 若当底角 ⇒ 两底角和 200°＞180°，舍去；只能当顶角 ⇒ 底角=(180°−100°)÷2=40°。
⚠️ 不分类就作答是本题唯一考点；钝角不能当底角要先说。

题型 4角平分线联动
△ABC 中，∠A=60°，∠B、∠C 的平分线交于点 I，求 ∠BIC。

思路：∠B+∠C=120° ⇒ ½(∠B+∠C)=60° ⇒ ∠BIC=180°−60°=120°。
💡 通式 ∠BIC=90°+½∠A，记住它填空秒杀。

三、基础篇 vs 培优篇：内角和的两种深度

四、巩固练习（12 题）

1. △ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，则 ∠C=______。
2. 直角三角形一个锐角为 35°，则另一个锐角为______。
3. 三个角分别为 40°、60°、80° 的三角形是______三角形（填"锐角/直角/钝角"）。
4. 等腰三角形顶角为 80°，则底角为______。
5. 等腰三角形一个角为 100°，则底角为______。
6. △ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则 ∠A=______，这个三角形是______三角形。
7. △ABC 中，∠A=55°，∠B 比 ∠C 大 25°，则 ∠B=______。
8. △ABC 中，∠B、∠C 的平分线交于点 I，∠A=60°，则 ∠BIC=______。
9. 在 △ABC 中，∠A=∠B+30°，∠C=∠A，则 ∠A=______。
10. 如图思路题：△ABC 中 AD 是角平分线，∠B=45°，∠C=55°，则 ∠ADC=______（提示：先求 ∠BAC，再用外角思维或三角形内角和）。
    （答案：∠ADC=100°）
11. 直角三角形两个锐角的平分线相交所成的锐角是______度。
12. △ABC 中，∠A=50°，将 △ABC 沿 DE 折叠（D 在 AB 上，E 在 AC 上），使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，∠B=40°，∠C=60°，则 ∠1+∠2（折叠处两角的和）=______。

五、答案与解析

1. 50°
   。内角和 180°−70°−60°。
2. 55°
   。两锐角互余，90°−35°。
3. 锐角
   。和 180° 且都是锐角 ✓（40+60+80=180）。
4. 50°
   。(180°−80°)÷2=50°。
5. 40°
   。100° 不能当底角（两底角和超 180°），只能当顶角。
6. ∠A=30°；直角
   。设 x+2x+3x=180° ⇒ x=30°；∠C=90° 是最大角 ⇒ 直角三角形。
7. 75°
   。∠B+∠C=125°，∠B−∠C=25° ⇒ ∠B=75°（和差问题）。
8. 120°
   。∠BIC=90°+½∠A=90°+30°=120°。
9. 70°
   。∠A=∠B+30° 且 ∠C=∠A：∠A+∠B+∠C=(∠B+30°)+∠B+(∠B+30°)=180° ⇒ ∠B=40° ⇒ ∠A=70°。
10. 100°
    。∠BAC=80°，AD 平分 ⇒ ∠BAD=40°；∠ADC=∠B+∠BAD=45°+40°=100°（外角定理，下一讲正式学）或内角和 ∠ADC=180°−40°−40°。
11. 45
    。两锐角各 45°，平分后各 22.5°，交角=180°−45°=135°（钝角），锐角=45°。模型：直角三角形双角平分线交角=45°/135°。
12. 100°
    。折叠前后 ∠ADE=∠FDE、∠AED=∠FED；∠B+∠C=100° ⇒ ∠BFC=80°... 用通式：∠1+∠2=2∠A=100°。

🎯 本讲方法卡
① 求角先想内角和 180°，算完必验和。
② 直角三角形求锐角：直接 90° 互余。
③ 等腰给角求角：必分类，钝角不能当底角。
④ 双内角平分线交角：∠BIC=90°+½∠A，填空秒杀；折叠问题记 ∠1+∠2=2∠A。

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下期预告：培优篇《三角形的外角》：外角定理与飞镖模型
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