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1661期 七夕没人陪？好好做题吧！（几道高考模考中浪漫的题）（解析版）
解析版可以参看《1661期 七夕没人陪？好好做题吧！（几道高考模考中浪漫的题）》
不知道派友们发现没发现，昨天小派我的推文封面已经换新了，因为今天七夕节呢！（其实免费的封面素材清一色全是有关浪漫的哈哈哈）不知道现在高中抓早恋还严不严哈哈哈哈哈哈，不知道屏幕前的你有没有人陪？不过没事，同学们未来时间还长着呢，浪漫的事有的是时间去做，今天就想做几道浪漫的题目吧哈哈哈哈
一、19年北京卷单选压轴浪漫心形线 二、19年北京卷北京卷改编题 三、25年新高考Ⅰ卷高考最浪漫的题！ 1、个人解析 2、官方解析 四、青岛25届高二下期末仿新Ⅰ卷导数
一、19年北京卷单选压轴浪漫心形线
【2019年北京高考理科T8】（关注：Hi数学派）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一（如题图 1）．给出下列三个结论：
① 曲线 恰好经过 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）；② 曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ；③ 曲线 所围成的“心形”区域的面积小于 ．
其中，所有正确结论的序号是（ ）．
①②①②①②③
解析：
①
②
③
注： 更多新曲线可以参看小派之前的推文《1510期教材中到两定点距离之和、差、积、商的曲线》
二、19年北京卷北京卷改编题
【2019年北京高考理科T8改编题】（关注：Hi数学派）已知曲线 的方程为 （1） 判断曲线 关于哪条坐标轴对称，并简述理由；（2） 若矩形 的四个顶点均在曲线 上，且其各边均平行于坐标轴，证明：矩形 的面积小于
解析：
（1）
（2）证明：
三、25年新高考Ⅰ卷高考最浪漫的题！
在2025年高考之后，不少网友发现新 Ⅰ 卷导数压轴第19题题设函数，在极坐标系下的图像竞是一个爱心，因此该题被打趣道命题组在给考生告白！（估计考场上不会有同学发现这份爱意，也只有在考后才会后知后觉，像极了学生时代青涩的爱情；不过当然这可能是高考命题组老师们的无心之举）此外，这道题在26届模考中被很多模考模仿改编！今天是情人节，借此来回顾一下这道高考中最浪漫的一题！
【25年新高考Ⅰ卷T19】 （关注：Hi数学派）设函数 （1） 求 在 的最大值；（2） 给定 ， 为实数，证明：存在 ，使得 ；（3） 若存在 使得对任意 ，都有 ，求 的最小值.
1、个人解析
（1）
（2）证明：
（3）
注1：（关注：Hi数学派）用切比雪夫函数展开 倍余弦来证明 都有
着实有点大材小用了，可以利用第 （1） 问结论再结合余弦函数有界性进行放缩。当然能记住 倍余弦的展开式也可以，多一点知识有时候能救急，比如今年高考考场上就是想不到和差化积了呢。
注2： 有关切比雪夫函数展开n倍余弦可以参看小派之前的推文《1421期 新Ⅰ卷压轴用切比雪夫展开n倍余弦，大材小用了……》
2、官方解析
四、青岛25届高二下期末仿新Ⅰ卷导数
该题来自山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期末考试数学压轴第19题。该题只是将原题中的 换成具有相同性质的抽象函数（即具有一定周期的偶函数），剩下要求的或要证明的结论基本不变，可谓是25年新Ⅰ卷导数压轴的高仿题！这道高仿题可以让同学们更加直观理解今年新Ⅰ卷高考题。
【青岛25届高二下期末T19】（关注：Hi数学派）已知函数 的图象在定义域 上连续不断，，， 在区间 上单调递减， 是 的导数.（1） 证明： 是周期函数；（2） 给定 ，设 ，证明：存在 ，使得 ；（3） 若 ，，，设函数 .（i） 求 的最大值；（ii） 若存在 ，使得 对 恒成立，求实数 的最小值.
证明：（1）
注：
（2）证明：
①
②
注：
（3）（i）
（ii）
注1：
注： 更多仿25年新高考Ⅰ卷压轴的题目可以参看小派之前的推文《情人节，回顾高考最浪漫的一题！》
