中考压轴题第16题:直角三角形的存在性问题,思路很清晰

青海这道 2025 压轴题，前两问是常规的待定系数与不等式，第(3)问把"以 AC 为直角边的直角三角形"拆成直角在 A 和直角在 C 两种情形，每种情形都等价于"过该点作 AC 的垂线，看与 y 轴的交点"，思路非常清晰。

题源：2025·青海中考

类型：二次函数 + 待定系数 + 函数不等式 + 直角三角形存在性

难度：⭐⭐⭐

总结：【待定系数法求抛物线；由  解 A，由开口方向解  区间；第(3)问把"AC 为直角边"拆成  和 ，分别作 AC 的垂线求与 y 轴交点】

原题：

一、题眼总览

答案：(1) y=x^2+2x-3；(2) ① A(-3,0)，② -3<x<1；(3) P(0,-3) 或 P(0,7)。

二、第(1)问：求抛物线的解析式

🔑 题眼

抛物线  已知过  和 ，两个待定系数、两个点，直接代入联立。

💭 思路

把 B、C 横纵坐标分别代入解析式，得到关于 、 的二元一次方程组，解出即可。

✅ 计算

代入 ：。

代入 ：，即 。

联立

由第一式得 ，代入第二式：，所以 。

故 。

三、第(2)问：求 A 坐标及  的范围

🔑 题眼

令  求与 x 轴交点；抛物线 开口向上， 的部分在两零点之间。

💭 思路

先因式分解 ，已知一个零点为 ，另一个即为 A。再由开口方向直接写出  的区间。

✅ 计算

令 ，即 ，解得  或 。

所以 ，。

抛物线开口向上， 时图象在 x 轴下方，故-3<x<1。

四、第(3)问：y 轴上是否存在 P，使  以 AC 为直角边

🔑 题眼

"以 AC 为直角边" 直角在 A 或直角在 C，不是直角在 P。

💭 思路

先求直线 AC 的斜率 ，再利用"两垂直直线斜率乘积为 "，分别写出过 A 和过 C 且垂直于 AC 的直线，求它们与 y 轴的交点即可。

✅ 计算

，，所以

与 AC 垂直的直线斜率为 。

① 直角在 A：过  且斜率为  的直线为 ，即 。

令 ，得 P_1(0,-3)。

② 直角在 C：过  且斜率为  的直线为 ，即 。

令 ，得 。

⚠️ 易错

容易把"AC 为直角边"理解成"AC 为斜边"。若 AC 为斜边，P 应在以 AC 为直径的圆上，此时 y 轴上还会有另外两个交点；但题目限定 AC 必须作为直角边，所以直角只能在 A 或 C，只有两个答案。

综上，y 轴上存在点 P，且  或 。

手写解析版：