中考二轮专题复习6:锐角三角函数的灵活运用

问题设计1：如图，四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，求证：BC/sin∠BAC＝DC/sin∠DAC.

设计意图：正弦定理的理解与灵活运用.

解题策略：有效建模，运用转化思想发现变中蕴含的不变思维.

问题分析：

第1步：如图，由条件∠ABC＋∠ADC＝180°发现模型一——A、B、C、D四点共圆；

第2步：如图，由结论BC/sin∠BAC＝DC/sin∠DAC想到直角三角形模型——作直径CF，连接BF、DF；

第3步：分别在RT△BCF、RT△DCF中求sin∠BAC和sin∠DAC，变形化简后可得结论.

问题设计2：如图，RT△ABC中，∠ACB＝90°，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.比较aⁿ＋bⁿ与cⁿ的关系（n为正整数）.

设计意图：三角形三边关系、勾股定理及锐角三角函数的综合运用.

解题策略：分类讨论思想，作商法比较大小，锐角三角函数相关结论.

问题分析：

当n＝1时，aⁿ＋bⁿ＞cⁿ，理由是三角形任意两边之和大于第三边；

当n＝2时，aⁿ＋bⁿ＝cⁿ，理由是直角三角形两直角边之和等于斜边的平分；

当n≥3时，因为a＜c、b＜c，所以0＜sinA＜1、0＜cosA＜1，所以sinⁿA＜sin²A、cosⁿA＜cos²A，因为sin²A＋cos²A＝1，所以sinⁿA＋cosⁿA＜1，所以aⁿ＋bⁿ/cⁿ＜1，所以aⁿ＋bⁿ＜cⁿ.