北京中考数学知识点整理:一元二次方程和判别式

四季读书网 2026-06-02 08:07:11 2 0

北京中考数学知识点整理：一元二次方程和判别式

一、核心知识点（贴合北京中考考纲，精准覆盖考点）

（一）一元二次方程的基础概念（中考基础考点，选择/填空高频）

定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是2（次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。

一般形式（必背，中考核心）：ax^2 + bx + c = 0（其中a、b、c为常数，且a ≠ 0）。

中考常考形式：

判定条件（中考选择题高频）：需同时满足4个条件——只含一个未知数、未知数最高次数为2、等号两边为整式、二次项系数a ≠ 0（四个条件缺一不可）。

（二）一元二次方程的判别式（中考核心考点，必考）

判别式定义：对于一元二次方程一般形式ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0），我们把Δ = b^2 - 4ac叫做一元二次方程根的判别式（读作“delta”），用于判断方程根的情况。

判别式与根的关系（必背，中考直接应用）：

判别式的核心用途（中考考向）：

（三）一元二次方程的解法（中考必考，分难度分层，适配不同题型）

直接开平方法（基础题，优先使用）

因式分解法（中考优先使用，简便快捷）

配方法（中档题，推导求根公式的基础）

求根公式法（万能方法，适配所有一元二次方程）

（四）中考核心关联考点（贴合北京中考考情，综合题高频）

判别式与参数取值范围：已知方程根的情况（如“有两个不相等实数根”“有实数根”），求参数（a、b、c中的未知量），需同时满足两个条件：① 二次项系数a ≠ 0；② 判别式满足对应关系（Δ > 0、Δ≥ 0）。

判别式与二次函数：二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）与x轴的交点个数，对应一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根的情况（Δ > 0有2个交点，Δ = 0有1个交点，Δ < 0无交点），是中考压轴题高频考点。

判别式与根与系数关系（韦达定理）：使用韦达定理（x_1 + x_2 = -b/a，x_1x_2 = c/a）前，必须先通过判别式保证方程有实数根（Δ≥ 0），否则韦达定理不成立。

二、北京中考真题级例题（分层适配，贴合考情）

例题1（基础题，中考选择/填空，分值2分）

下列方程中，是一元二次方程的是（）

A. 2x + 3 = 0 B. x^2 + 2x - 3 = 0 C. x^2 + 1/x = 1 D. ax^2 + bx + c = 0

解析

核心考查一元二次方程的判定条件，逐一分析选项：

A选项：未知数最高次数为1，是一元一次方程，错误；

B选项：只含一个未知数x，最高次数为2，等号两边为整式，二次项系数为1≠0，符合一元二次方程定义，正确；

C选项：含分式1/x，不是整式方程，错误；

D选项：未注明a ≠ 0，无法确定是一元二次方程，错误。

答案：B

例题2（基础题，中考填空，分值2分）

若关于x的一元二次方程x^2 - 2x + k = 0有两个相等的实数根，则k的值为________。

解析

第一步：确定方程为一元二次方程，a=1，b=-2，c=k（a≠0，满足条件）；

第二步：由“有两个相等的实数根”，得Δ = 0；

第三步：代入判别式公式，Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 ✖️ 1 ✖️ k = 0；

第四步：解方程，得4 - 4k = 0，即k = 1。

答案：1

例题3（中档题，中考解答题基础问，分值3分）

解一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，并判断方程根的情况。

解析

第一步：判断根的情况（利用判别式）：a=1，b=-5，c=6，Δ = (-5)^2 - 4 ✖️ 1 ✖️ 6 = 25 - 24 = 1 > 0，因此方程有两个不相等的实数根；

第二步：选择因式分解法求解，将方程化为(x - 2)(x - 3) = 0；

第三步：解得x_1 = 2，x_2 = 3。

答案：方程有两个不相等的实数根，分别为x_1 = 2，x_2 = 3。

例题4（压轴题级综合题，中考解答题压轴问改编，分值4-5分）

已知关于x的一元二次方程kx^2 - (2k + 1)x + k - 2 = 0（k为常数）。

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的一个根为2，求k的值及方程的另一个根；

（3）若方程的两个实数根的平方和为7，求k的值。

解题思路（贴合北京中考压轴题逻辑）

第一步：解决第（1）问，求k的取值范围（核心：判别式+一元二次方程定义）。

1. 由方程是一元二次方程，得二次项系数k ≠ 0；

2. 方程有两个不相等的实数根，因此Δ > 0；

3. 确定a、b、c：a=k，b=-(2k+1)，c=k-2，代入判别式：

Δ = [-(2k + 1)]^2 - 4 ✖️ k ✖️ (k - 2)，化简得：

Δ = 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 + 8k = 12k + 1；

4. 由Δ > 0，得12k + 1 > 0，解得k > -1/12；

5. 综合k ≠ 0和k > -1/12，得k的取值范围为k > -1/12且k ≠ 0。

第二步：解决第（2）问，利用方程的根求k及另一个根（代入法）。

1. 把x=2代入原方程，得k ✖️ 2^2 - (2k + 1) ✖️ 2 + k - 2 = 0；

2. 化简方程：4k - 4k - 2 + k - 2 = 0，即k - 4 = 0，解得k = 4；

3. 把k=4代入原方程，得4x^2 - 9x + 2 = 0；

4. 因式分解求解：(4x - 1)(x - 2) = 0，解得x_1 = 2，x_2 = 1/4；

5. 因此，k=4，方程的另一个根为1/4。

第三步：解决第（3）问，结合根与系数关系求k的值（压轴难点）。

1. 设方程的两个实数根为x_1、x_2，根据韦达定理：

x_1 + x_2 = （2k + 1）/k，x_1x_2 = （k - 2）/k；

2. 已知x_1^2 + x_2^2 = 7，利用完全平方公式变形：x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2；

3. 代入韦达定理结果，得：

[ （2k + ）/k ]^2 - 2 ✖️（k - 2）/k = 7；

4. 化简方程（两边同乘k^2，注意k ≠ 0）：

(2k + 1)^2 - 2k(k - 2) = 7k^2，展开得4k^2 + 4k + 1 - 2k^2 + 4k = 7k^2；

整理得5k^2 - 8k - 1 = 0，代入求根公式：

k =( 4 ±√21)/5；

5. 结合第（1）问k的取值范围（k > -1/12且k ≠ 0），验证两个解：

( 4 +√21)/5 > -1/12，符合条件；

( 4 -√21)/5 > -1/12，符合条件；

6. 因此，k的值为( 4 +√21)/5 或( 4 - √21)/5 。

答案：（1）k > -1/12 且k ≠ 0；（2）k=4，另一个根为1/4；（3）k =

( 4 +√21)/5 或( 4 - √21)/5 。

压轴题易错点标注（中考高频易错，重点规避）

易错点1：忽略一元二次方程定义，求k的取值范围时，忘记k ≠ 0，只考虑Δ > 0，导致取值范围出错；

易错点2：判别式化简错误，尤其是去括号、合并同类项时，符号出错（如[-(2k+1)]^2误算为- (2k+1)^2）；

易错点3：根与系数关系应用失误，代入x_1 + x_2、x_1x_2时，分子分母颠倒（如误写为x_1 + x_2 = k/（2k+1））；

易错点4：求解x_1^2 + x_2^2时，忘记变形为(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2，直接代入根的数值计算，增加运算量且易出错；

易错点5：求出k的值后，未结合第（1）问的取值范围验证，导致保留不符合题意的解（如k为负数且小于-1/12）；

易错点6：步骤不规范，漏写“由一元二次方程定义，得k≠0”“由判别式Δ>0，得……”等依据，导致丢分。

三、中考答题技巧（精准提分，避开陷阱）

（一）基础题答题技巧（选择/填空，稳拿分）

判定一元二次方程：优先检查“a≠0”和“整式方程”，快速排除含分式、最高次数不是2的选项；

判别式基础应用：已知根的情况求参数，直接套用Δ的对应关系（Δ=0→相等根，Δ>0→不相等根），无需复杂推导；

解方程优先选简便方法：可因式分解的优先用因式分解法，无法因式分解的再用求根公式，避免冗余运算。

（二）中档题答题技巧（解答题基础问）

步骤规范：先判断根的情况（判别式），再解方程，最后检验根的正确性（代入原方程验证）；

参数取值范围：分两步——① 保证一元二次方程（a≠0）；② 结合根的情况，利用判别式建立不等式，解不等式后综合两个条件。

（三）压轴题答题技巧（综合题，拿高分）

分步突破：压轴题分3小问，先解决基础问（如第（1）问求参数范围），再突破综合问（如第（3）问根的平方和），避免因某一问卡壳影响整体；

数形结合：结合二次函数图像，理解判别式与交点个数的关系，简化参数求解；

规范步骤：每一步推导都标注依据（如“由一元二次方程定义，得k≠0”“由韦达定理，得x1+x2=……”），避免跳步丢分；

验算习惯：求出参数或根后，代入原方程或判别式验证，确保结果正确，避免计算错误。

四、中考注意事项（避开易错点，稳拿基础分）

核心限制牢记：一元二次方程的二次项系数a ≠ 0，是判断方程类型的前提，无论何种题型，均需先确认a≠0，否则会导致整个题目出错（中考高频易错点）；

判别式计算：注意符号（b为负数时，b^2为正数，去括号时符号要变号，如-(2k+1)的平方是(2k+1)^2，而非- (2k+1)^2）；

解方程易错点：① 因式分解法漏解（如x^2 - 2x = 0，漏解x=0）；② 求根公式漏写“±”，导致只求出一个根；

参数验证：求出参数值后，必须结合题干中根的情况（如“有两个实数根”）验证，排除不符合Δ≥0的解；

步骤规范：中考解答题（尤其是压轴题），步骤不完整会丢分，即使答案正确，也需标注推导依据，避免跳步（如求k的取值范围，需注明“由一元二次方程定义，得k≠0”“由Δ>0，得……”）；

北京中考考情适配：一元二次方程和判别式是核心考点，覆盖基础题、中档题、压轴题，基础题务必细心，避免因简单错误丢分；压轴题重点突破“参数取值范围”“根与系数关系”，结合判别式验证，确保正确率。

本文地址： https://sjds.net/725462.html

文章来源：四季读书网