最近带初三复习，发现 “找规律” 这道题，孩子们丢分挺可惜的。
其实河北中考 + 各地一二模，初中阶段找规律翻来覆去，基本就这 10 类常见规律。（文末可点击下载本文pdf版）
最后这段冲刺时间，把这些记熟吃透，考试基本不会丢分。
1. 等差数列
每次增加同一个数。
通式：an = a1 + (n-1)·d
举例：3，5，7，9… →2n+1
观察方法：算相邻项的差，差为常数。
⚠️ 易错：首项对应 n=1，代进去验算。
如图，下列每个图形中的四个数字都是按相同规律填写的，根据此规律，求X的值为。
2. 相邻乘积
形式如： 1×3, 2×4,3×5…
通式：n(n+2)
举例：3，8，15，24… 可看成：1×3, 2×4,3×5, 4×6…→ 第 n 项： n(n+2)
观察方法：把每个数拆成两个因数的积，看因数与序号的关系。
⚠️ 易错：注意第二因子比第一因子大几。
（常作为综合性规律问题中计算数字规律）
3. 三角数
1，3，6，10…
举例：堆成三角形的钢管，最上层 1 根，往下每层多 1 根，共 n 层，总根数。
观察方法：相邻差是 1,2,3,4…（等差数列），累加求和。
⚠️ 易错：这是前 n 个自然数的和，不是普通等差。
将全体正偶数排成三角数阵：第 1 行 1 个数，第 2 行 2 个数，第 n 行 n 个数
答案：第 n 行第 3 个数不可能是 36
4. 平方数及其变形
1，4，9，16… →n2
常见变形：
・n2-1：0，3，8，15…
· n2+1：2，5，10，17…
观察方法：先看是否接近平方数，再比较差值。
⚠️ 易错：代 n=1验证变形是否正确。
（此规律常作为综合性规律问题中计算数字规律）
补充：幂的个位数字周期规律
以3的正整数次幂为例，个位数字按 3,9,7,1 循环，周期为4。
求 32026 的个位数字：2026÷4 余2，对应周期第2位，个位为9。
5. 符号交替（正负交替）
正负正负… 或负正负正…
举例：-2，4，-6，8，-10… 第 n 项为 (-1)n ·2n
观察方法：先忽略符号看绝对值，再根据第 1 项的符号决定用 (-1)n 还是 (-1)n+1。
⚠️ 易错：一定要代 n=1试符号。
6. 二阶等差（越加越快）
一次差不齐，但二次差为常数。
举例：2，5，10，17…
相邻差：3，5，7…（一次差）
二次差：2，2（常数）→ 含 n2→ 试 n2+1
观察方法：先算相邻差，如果一次差不是常数，再算一次差的差（二次差）。二次差为常数，则原数列是 n² 的倍数加调整。
⚠️ 易错：二次差为常数才用 n2，不要硬猜。
第①图 2 个黑点，第②图 7 个，第③图 15 个…
一次差值：5、8…，二次差值固定为 3
通项公式：用二次函数待定系数，代入（1,2），（2,7），（3,15）即可.
7. 图形累加（线性增长）
每增加一个图形，固定增加几个单位。
通式： kn + b
举例：第①图 4 个，第②图 7 个，第③图 10 个… → 每次多 3 个 →3n+1
观察方法：先数前两个图的个数，算差 k ，再代入 n=1 求 b 。
⚠️ 易错：区分 “第 n 个图” 和 “前 n 个图的总数”。
例1、下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需根火柴棒．
第一个图形需8根，第二个15根，…，每次多7个，∴7n＋1，图⑦需50根
例2、
核心规律解析：
8. 数位拆解（两位数问题）
十位数字 a ，个位数字 b ：
原数 10a+b，新数 10b+a
常用结论：
・两数和 = 11(a+b)
・两数差 = 9(a-b)
观察方法：根据数位表示，列出代数式。
⚠️ 易错：不要把 10a+b 写成 a+b 。
例：任意写出一个各数位不含零的三位数，任取三个数字中的两个，组合成所有可能的两位数，所有这些两位数的和，然后将它除以原三位数的各个数位上的数的和，则这个商为，证明你的结论。
设百位a，十位b，个位c
所有两位数：10a+b、10a+c、10b+a、10b+c、10c+a、10c+b
总和=22(a+b+c)，原三位数的各个数位上的数的和=a+b+c，
商=22(a+b+c)÷（a+b+c）=22
9. 日历型（方格中的规律）
在日历上，上下相邻差 7，左右相邻差 1。
设中间数为 x ：
上：x-7，下：x+7 ，左：x-1 ，右：x+1
十字形五个数的和 = 5x
观察方法：利用日历的排列规律（一周 7 天）。
⚠️ 易错：注意日历第一行可能不是 1 号，但规律不变。
答案：B
10. 递推型（前后项有固定关系）
第 n 项由第 n-1 项通过一个式子得到。
观察方法：先写出前 3~4 项，再找规律（通常转化为等差或三角数等）。
⚠️ 易错：递推式写出来之后，一定要逐项验证。
📝 河北模考精选考前自测
1.0，3，8，15，24… 第 n 个数是。
2.拼三角形：第①图用 3 根火柴，第②图用 5 根，第③图用 7 根… 第 n 图用根。
3.已知 b1=2， bn = bn-1+ 2n ，b3 =。
5.
🧠 一个口诀记牢 10 类规律
等差平方三角数，乘积递推和二阶。
图形累加看增量，日历数位符号别。
代个 n=1 验一遍，找规律题不再谢。
✅ 最后几天这样做
・不要死背通式，要会观察相邻项的差或比。
・拿到题先写前 3 项（如果题目没给够）。
・图形题：给每个图标序号，数数量，列出来再看。
・代 n=1 验证 —— 这是避免粗心丢分的最后一道防线。
・这 10 类规律涵盖了河北中考 95% 以上的找规律题，熟悉它们，考场上就是 “按图索骥”。
我是读数学的作者，带一届又一届初三学生。
这些规律，年年都在用。
您家孩子在哪种找规律题上总出错？
欢迎留言，我帮您分析。
关注我，下一篇分享
《一道梯形圆最值｜吃透直角图形压轴三种万能解法二模后》
📌 收藏本文，考前再看一遍
👉下载打印版，点击：中考数学 “找规律” 满分攻略：吃透这 10 类常见规律，不再丢分！.pdf“当年创立‘读数学’，就是为了让孩子们少走弯路。没想到，这一晃十年了……”
