高考真题·2023年1卷第12题·圆柱能这样放吗?
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高考真题·2023年1卷第12题·圆柱能这样放吗?
这道题考查常见几何体的切接，考法与众不同。这次再做，又有新的想法。对于A选项，棱长为1的正方体能放下最大直径为1的球体，故A正确；对于B选项，棱长为1的正方体都能放下棱长为根号2的正四面体，故B正确；对于C选项，一个细高的圆柱，会怎么放入正方体？由经验，那肯定是让圆柱的轴顺着体对角线放，而棱长为1的正方体的体对角线长为根号3，是小于1.8的，故C选项错误；对于D选项，一个矮胖的圆柱，可不可以这样放呢？想象它为一个饼，哦，不，一个光盘，哦，不，还要薄，一个圆纸片吧，把这个圆纸片放到体对角线上。体对角线长1.7呢，D选项的底面直径才1.2，而且它又只有0.01那么薄，肯定能行，所以D正确。其实这样是放不下的，如下图1，这样只能放下最大半径为根号30/10的圆,比0.6小，所以放不了D那么大的“饼”。另外，若以图1这个最大半径的圆作为底面，是不是就能搁下图2中高为RS的圆柱呢？并不是。从图2的平面图里看似这个圆柱挨不着棱AE，但其实已经从正方体某些面凸了出去，如图3和4.还得是圆柱的轴顺着体对角线的方向放置，这样能放下最大半径为OF=根号6/4的圆（如图5，图5里的正六边形是最优截面），即大约0.6125的圆。圆柱的底面半径要小于这个数据。当圆柱的轴顺着体对角线放置时，虽然既限宽又限高，但是不是可以求圆柱体积的最大值了呢？近年2025年新高考2卷第14题也是考切接，反正二刷时学生还在出错。
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