中考数学复习深度解析:直角三角形的性质、判定与综合应用

中考数学复习深度解析：直角三角形的性质、判定与综合应用

在初中数学几何体系中，直角三角形是核心基石之一。它不仅是研究勾股定理的载体，更是后续学习锐角三角函数、圆的性质以及高中向量与解析几何的基础。本文将结合中考复习要点，对直角三角形的知识体系进行全面梳理。

笔记

直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

直角三角形的性质：

1）直角三角形两个锐角互余.

2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

直角三角形的判定：

1）两个内角互余的三角形是直角三角形.

2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

面积公式：S=1/2ab=1/2cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)

例题：

如图，在▱ABCD中，AD⊥BD,∠A=30°,BD=3，则▱ABCD的面积等于？             ．

【详解】∵AD⊥BD，∠A=30°，BD=3，

∴AB=3×2=6，

∴AD=√AB^2−BD^2=√36−9=√27=3√3，

∴S_△ABD=1/2×3√3×3=9√3/2，

∴S_平行四边形ABCD=2S_△ABD=9√3；

故答案是：9√3．

勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2.

变式：a^2=c^2−b^2，b^2=c^2−a^2，c=√a^2+b^2,a=√c^2−b^2,b=√c^2−b^2.

勾股定理的证明方法（常见）：

方法一（图一）：4S_Δ+S_正方形EFGH=S_正方形ABCD，4×1/2ab+(b−a)^2=c^2，化简可证．

方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4×1/2ab+c^2=2ab+c^2

大正方形面积为S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，所以a^2+b^2=c^2

方法三（图三）：S_梯形=1/2(a+b)⋅(a+b)，S_梯形=2S_ΔADE+S_ΔABE=2⋅1/2ab+1/2c^2，化简得证a^2+b^2=c^2

勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a^2+b^2=c^2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.

常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.

判断勾股数的方法：

1）确定是三个正整数a，b，c；

2）确定最大的数c；

3）计算较小的两个数的平方a^2+b^2是否等于c^2.

勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a，b，c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.

易混易错

1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.

2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．

3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．

4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数.

例题1：

如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD（    ）

A．小于2米B．等于2米C．大于2米D．以上都不对

【详解】∵AB=5，OA=4，AC=2，AB=CD=5，

∴OB=√AB^2−OA^2=3，OD=√AB^2−(OA−AC)^2=√21，

∴BD=√21-3，

∵16＜21＜25，

∴4＜√21＜5，

∴1＜√21-3＜2，即BD的长小于2米，

例题2：

如图，在△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积为？

【详解】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点

∴EF，DE，DF都是△ABC的中位线，

∴EF=1/2AB，DE=1/2AC，DF=1/2BC，

又∵AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，

∴EF=2.5（cm），DE=2（cm），DF=1.5（cm），

∵1.52+22=2.52，∴DE2+DF2=EF2，

∴△EDF为直角三角形，

∴S△EDF=1/2DE•DF=1/2×1.5×2=1.5（cm2）