中考数学二次函数压轴题训练十九《二次函数与新定义》

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专题19 二次函数与新定义

（2024秋•诸暨市校级月考）

1．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（）

A．B．

C．当时，D．不论取何值，

（2023秋•颍东区期中）

2．定义：为二次函数的特征数．下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是y轴；②当时，函数图象过原点；③当且时，y随x的增大而减小；④当时，若，，则．其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

（2023秋•南岗区期中）

3．定义：二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，则此二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为．

（2024秋•信阳期中）

4．定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是．

（2024秋•大连月考）

5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”．

(1)直线上的“友好点”坐标为____________；

(2)若“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；

(3)若“友好二次函数”的图像过点，且顶点在第一象限

①当时，这个“友好二次函数”的最小值为，求的值；

②已知点，，当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围．

（2024•锦江区校级模拟）

6．在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为．

（2023•盐城）

7．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．

【初步理解】

（1）现有以下两个函数：①；②，其中，_________为函数的轴点函数．（填序号）

【尝试应用】

（2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值．

【拓展延伸】

（3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值．

（2024•盐城一模）

8．我们约定：若关于x的二次函数与，则称函数与函数互为“共赢”函数．根据该约定，解答下列问题：

(1)若关于x的二次函数与互为“共赢”函数，则；；．

(2)对于任意非零实数r、s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“共赢”函数．

①求函数y₂的图像的对称轴；

②函数y₂的图像与直线交于A、B两点，且AB长为，求的函数表达式；

(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“共赢”函数的图像顶点分别为点A、点B．若函数，的图像交于不同两点C，D，且四边形为菱形，，请求出该菱形面积的取值范围．

（2023•长沙）

9．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

(1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

(2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．

①求函数的图像的对称轴；

②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

（2024•张店区二模）

10．我们定义：二次函数与关于原点O互为“伴随函数”．

(1)请直接写出二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数表达式；

(2)若点在二次函数的图象上，请证明点在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上．

（2024•铁东区二模）

11．定义：若二次函数图象与一次函数图象交于两点，且其中一个交点是二次函数的顶点，则称这两点间的线段为此二次函数与一次函数的“顶点截线段”．

在数学活动课上，老师展示图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于P，A两点，与y轴交于点B，且点P是抛物线的顶点（点P与点C，点D不重合），直线分别与x轴，y轴交于D，C两点．老师要求同学们探究此情境下顶点截线段的长是否存在规律？

【形成猜想】

智慧小组同学分别画出点P的横坐标为1，2，3时的图象，并量出相应的“顶点截线段”长，发现它们的长度相等，进而形成猜想“顶点截线段”的长是定值．

【进行验证】

智慧小组同学通过计算求得点P的横坐标为1，2，3时“顶点截线段”的值，验证了他们的猜想．

（1）当点P的横坐标为2时，请你求出抛物线的解析式（化为一般式）及“顶点截线段”的长度．

【推理证明】

（2）智慧小组同学得到的猜想：二次函数与一次函数的“顶点截线段”的长度为定值，是否正确？请你判断，并说明理由．

【拓展延伸】

老师在同学们分析、探究后，提出下面问题：

（3）点Q为射线上一点（点Q与点C，点D不重合），且点Q为二次函数与二次函数的顶点，二次函数和与一次函数的“顶点截线段”分别为线段，线段，二次函数的图象与x轴另一交点为点E，若，求的面积．

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