利用平移集中条件和建系解2026年广州中考一模数学16题
引言
本题为平行四边形背景下的双动点几何综合题，已知中，，，，边、上的动点、满足，为中点。题目共设两问：一是求为等边三角形时的取值，二是求的最小值。
本题核心难点在于双动点的关联约束，直接求解难度较大，核心解题逻辑是将双动点问题转化为单动点问题。本文提供两种解法：方法一为纯几何法，通过平移构造平行四边形，结合直角三角形斜边中线定理将转化为，利用两点之间线段最短求最值；方法二为建系法，通过建立平面直角坐标系，用参数表示动点坐标，消参得到点轨迹，结合垂直平分线性质转化线段，最终通过两点间距离公式求得结果。
原题呈现
16. 如图，在 中，，，，点， 分别是边， 上的动点，且满足 。当 时， 为等边三角形；已知点 为 的中点，连接 ，，则 的最小值为 。 图1
方法一：通过平移线段集中条件，将双动点问题转化为单动点问题
分步思路引导
第一步：拆解题目，锚定核心已知与问题
我们先从最基础的题目信息入手，跟着问题一步步思考：
1. 请你完整梳理出这道题给出的全部已知条件，把它们一一列出来，不要遗漏关键信息。
（答：中，，，；点在上、点在上，满足；是的中点。）2. 这道题有两个待解决的问题，分别是什么？
（答：① 当为多少时，为等边三角形；② 求的最小值。）
第二步：引导解决第一个问题：等边三角形的取值
我们先攻克第一个小问题，跟着问题一步步思考：
1. 请你回忆：等边三角形的判定定理有哪些？针对，我们已经知道了一个关键条件，也就是，那有一个角是的三角形，再满足什么条件，就能直接判定为等边三角形？
（答：有一个角为的等腰三角形是等边三角形，因此只需让的两条边相等即可。）2. 结合这个角，我们只需要让这个角的两条邻边相等，就能满足等腰的条件，请问这两条邻边分别是哪两条？
（答：和。）3. 我们设，请你结合已知条件，用含的式子分别表示出和的长度。
（答：；由，得。）4. 现在我们已经得到了等边三角形需要满足的，你能列出对应的方程，解出的值吗？
（引导你列出方程，解得，也就是时，为等边三角形。）
第三步：引导突破核心难点：的最小值问题
模块1：识别问题本质，找到核心障碍
1. 我们来看第二个最值问题，首先请你观察：这个问题里，动点有几个？它们的运动是完全独立的吗？
（答：有、两个动点，它们的运动相互关联，约束条件是，这是一个双动点问题。）2. 你觉得双动点的最值问题，最大的难点在哪里？面对这类问题，我们通常的核心转化思路是什么？
（答：难点在于两个动点同时运动，条件分散，无法直接确定最值；核心思路是把双动点问题转化为单动点问题，找到动点的定轨迹。）3. 我们再回到核心约束条件：、。这两个条件分别落在、两条边上，位置很分散，你能不能想到一种基础的几何变换，能把这两个分散的条件，集中到同一个三角形里？
（引导你想到平移变换：把线段平移到点的位置，让和产生直接关联。）
模块2：通过平移构造，集中条件，转化动点
1. 我们按照平移的思路，过点作，且，请你先回答：此时和有什么数量关系？依据是什么？
（答：，依据是已知条件，我们作了，等量代换即可得到。）2. 因为，，请问等于多少度？为什么？
（答：，依据是两直线平行，同位角相等。）3. 现在我们得到了的两个核心条件：，。请你回忆特殊三角形的性质，这个三角形是什么特殊三角形？它的哪个角是固定不变的？
（答：这是直角三角形，。依据是：含角的直角三角形的性质，在三角形中，角的邻边为短边，斜边是短边的2倍，因此，且是一条垂直的定直线。）
4. 我们刚才作了且，请问四边形是什么特殊四边形？判定依据是什么？
（答：平行四边形，依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。）5. 已知是的中点，结合平行四边形的性质，你能发现点还有什么隐藏的身份吗？
（答：平行四边形的对角线互相平分，因此同时也是的中点。到这里，我们就成功把双动点、的问题，转化成了单动点随运动的问题。）
模块3：转化线段和，确定最小值的取等条件
1. 现在我们知道了是的中点，且是直角三角形（），请你回忆直角三角形的核心性质：直角三角形斜边的中线有什么特点？
（答：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此。）2. 原来我们要求的是的最小值，现在你能把这个线段和，转化成哪两条更易分析的线段的和？
（答：。）3. 现在问题变成了求的最小值，其中、都是平行四边形的定点，只有是动点。请你回忆最基础的最值公理，两条线段和的最小值，满足什么条件时能取到？核心原理是什么？
（答：根据两点之间，线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值就是线段的长度。）
模块4：引导计算的长度，得到最终结果
1. 现在我们只需要求出的长度即可，是平行四边形的一条对角线，没有直接给出长度。要求一条斜线段的长度，我们最常用的方法是什么？需要构造什么图形？
（答：勾股定理，需要构造以为斜边的直角三角形。）2. 我们过点作，交的延长线于点，就构造出了。请你结合平行四边形的性质，先求出的度数，以及的长度。
（答：平行四边形中，，因此。）3. 在中，已知，，请你分别算出和的长度。
（答：；。）4. 已知，请你算出的长度，再在中，用勾股定理算出的长度。
（答：；，也就是的最小值为。）
总体解题逻辑
本题有两个难度：
1. ，，这些条件比较分散； 2. 本题是双动点问题，直接求解难度较大。
要解决此问题，核心是将双动点转化为单动点。通过平移变换，将线段平移到点的位置，即作且，这样就能将和的条件集中起来。连接，易证是直角三角形，因此点在过点且垂直于线段的直线上运动；再连接，可得四边形是平行四边形。又因为是的中点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，也是的中点，这样就成功将双动点问题转化为单动点问题。
在中，是斜边的中点，根据直角三角形斜边中线定理，可得。因此，根据两点之间线段最短，，即的最小值为线段的长。
接下来只需求的长度即可，可通过构造直角三角形求解：过点作，交的延长线于点，利用和，结合勾股定理计算出的长度。
标准解题详解
1、求使为等边三角形时的长度
设，由题意得。
∵ ，
∴ 。
∵ ，
根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，当为等边三角形时，需满足。
∴ ，解得。
即当时，为等边三角形。
2、求的最小值
步骤1：构造辅助线，转化双动点问题
过点作于点，过点作，交于点，连接、；过点作，交的延长线于点。
步骤2：证明平行四边形，确定点的核心性质
∵ ，
∴ 。
∵ ，
∴ 。
在中，，由含角的直角三角形的性质得。
又∵ ，
∴ 。
∵ 且，
∴ 四边形是平行四边形。
∵ 为的中点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得为的中点。
步骤3：转化线段和，确定最小值的取等条件
在中，为斜边的中点，由直角三角形斜边中线定理得：
。
∴ 。
根据两点之间，线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度。
步骤4：构造直角三角形，计算的长度
∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，。
∴ 。
在中：
，
。
∴ 。
在中，由勾股定理得：
即的最小值为。
方法二：建系法求点的轨迹
分步思路引导
第一步：引导选择解题方法——为什么想到建系法？
1. 我们先锚定这道题的核心难点：这是一道带约束条件的双动点最值问题，纯几何解法需要构造巧妙的辅助线，如果你一时想不到合适的辅助线，不妨观察这个图形的特点——它是一个平行四边形，有固定的角，边长均为定值，整体结构非常规整。请问，面对这种规整、有固定角度和边长的几何图形，除了纯几何推理，还有哪种通用的解题方法，可以把几何问题转化为代数计算，从而避开复杂的辅助线构造？
（答：平面直角坐标系法（建系法），把几何位置关系转化为坐标、函数的代数问题）2. 建系法的核心是把点的位置用坐标表示，为了让后续的坐标计算尽可能简便，我们通常会把坐标系的原点选在什么样的点上？结合这道题的图形，你觉得选哪个点作为原点最合适？
（答：优先选图形的顶点，尤其是能让两条边落在坐标轴上的点；这道题选点为原点，所在直线为轴，计算最简便）
第二步：引导建立坐标系，确定所有定点的坐标
1. 我们确定以为坐标原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系。首先请你写出原点的坐标，再结合，写出点的坐标。
（答：，）2. 已知，，点在第一象限，你能利用三角函数的定义，算出点的横、纵坐标吗？
（答：，，即）3. 四边形是平行四边形，且，你能根据点的坐标，直接推出点的坐标吗？
（答：与平行，因此的纵坐标与一致，横坐标为，即）图7
第三步：引导解决第一个问题——求使为等边三角形的值
1. 我们先攻克第一个小问题，要让为等边三角形，我们先设，你能根据已知条件，写出的表达式吗？再结合，写出的表达式？
（答：，）2. 我们已经知道，请你回忆等边三角形的判定定理：有一个角是的三角形，再满足什么条件，就能直接判定为等边三角形？对应到中，需要哪两条边相等？
（答：有一个角为的等腰三角形是等边三角形，因此需要满足）3. 现在你能根据列出对应的方程，解出的值，也就是的长度吗？
（引导你列出方程，解得，即）
第四步：引导用参数表示动点、的坐标
1. 接下来我们解决核心的最值问题，关键是用参数表示两个动点的坐标。首先看点，它在上，，，你能仿照之前求点坐标的方法，用含的式子表示出点的横、纵坐标吗？
（答：的横坐标为，纵坐标为，即）2. 再看点，它在上，也就是轴上，且，你能直接写出点的坐标吗？
（答：在轴上纵坐标为，横坐标为，即）
第五步：引导求中点的坐标，消参得到的运动轨迹
1. 已知是的中点，你能回忆平面直角坐标系的中点坐标公式，结合、的坐标，写出点横、纵坐标的表达式吗？
（答：中点横、纵坐标分别为两点横、纵坐标的平均数，即
）2. 现在我们得到了点坐标的参数方程，横、纵坐标都含有参数，要找到点的运动轨迹，核心是消去参数。你能先从横坐标的表达式中，解出用表示的式子吗？
（答：，即）3. 现在你能把解出的代入纵坐标的表达式，化简后得到与的函数关系式吗？这个关系式就是点的运动轨迹。
（引导你代入化简，最终得到，即点的运动轨迹是这条直线上的一段线段）
第六步：引导利用轨迹，求的最小值
1. 现在我们知道了点的运动轨迹是直线，要求直线上动点到两个定点、的距离和的最小值，我们先研究这条直线和线段的关系。请你先算出直线的斜率，再和直线的斜率相乘，看看结果是多少？这个结果说明两条直线是什么位置关系？
（答：，，两者乘积，说明两直线斜率乘积为，则两直线互相垂直，即）2. 接下来，请你算出线段的中点坐标，再把这个中点的横坐标代入直线的解析式，看看算出的纵坐标和中点的纵坐标是否相等？这说明什么？
（答：的中点，代入直线的解析式，，与中点纵坐标完全一致，说明直线经过的中点）3. 一条直线既垂直于线段，又经过的中点，那这条直线是线段的什么线？根据这条线的核心性质，直线上的任意一点，到和到的距离有什么关系？
（答：直线是线段的垂直平分线；线段垂直平分线的核心性质：垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等，即）4. 现在我们要求的是的最小值，你能利用，把这个线段和转化为哪两条更易分析的线段的和？
（答：）5. 现在问题转化为求的最小值，其中、都是定点，是动点。根据最基础的几何公理，两点之间什么最短？当在什么位置时，能取到最小值？最小值是什么？
（答：两点之间，线段最短；当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度）6. 现在你能利用两点间距离公式，算出和之间的距离，也就是的最小值吗？
（答：
即的最小值为）
整体解题逻辑
本题的辅助线构造有一定难度，通过观察可发现本题的图形结构规整，为了避免思考几何辅助线的构造，完全可以采用建系法求解。
为了计算方便，我们可以以点为原点建立平面直角坐标系。先通过、两点的坐标求出直线的函数表达式，再利用直线的表达式表示出动点的坐标；接下来利用的数量关系，表示出动点的坐标；由此就可以通过、两点的坐标，结合中点坐标公式表示出中点的坐标；再对点的横、纵坐标进行消参处理，即可得出点的运动轨迹；最后结合点的运动轨迹，即可求出的最小值。
标准解题详解
一、建立平面直角坐标系，确定定点坐标
以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系。
根据已知条件计算各定点坐标：
• ，，故； • ，，由三角函数定义得点坐标：
，，即；• 四边形为平行四边形，且，故点坐标为，即。
二、求解使为等边三角形的值
设（，保证在上、在上），由题意得。
，。
，根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，当为等边三角形时，需满足。
列方程：
解得，即当时，为等边三角形。
三、求解的最小值
步骤1：用参数表示动点、的坐标
• 点在上，，结合，得点坐标： • 点在轴上，，故点坐标：
步骤2：用中点坐标公式表示点坐标
为的中点，根据中点坐标公式，设，则：
步骤3：消参确定点的运动轨迹
从横坐标表达式中解出参数：
将代入纵坐标表达式，消去参数：
即点的运动轨迹为直线上的一段线段。
步骤4：利用垂直平分线性质求的最小值
1. 证明直线是线段的垂直平分线 已知、，根据斜率公式，直线的斜率为：
② 验证直线与垂直：
轨迹直线的斜率，两直线斜率乘积为：
根据两直线斜率乘积为，则两直线互相垂直，可得。线段的中点的坐标为：
将代入直线的解析式，得：
与中点的纵坐标完全相等，因此的中点在直线上。
综上，直线既垂直于线段，又经过的中点，因此直线是线段的垂直平分线。2. 转化线段，确定最小值取等条件
根据线段垂直平分线的核心性质：垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等。
因点在的垂直平分线上，故，由此可将待求线段和转化为：
根据两点之间，线段最短的基本公理，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度。3. 计算的长度
已知、，根据两点间距离公式：
即的最小值为。
小结
综上，本题的两种解法均紧扣将关联双动点问题转化为单动点问题这一核心破题思路，适配了不同的解题思维路径，也为同类几何综合题提供了可复制的解题范式。
方法一的核心关键是通过平移变换将分散在AB、BC边上的已知条件集中到同一个三角形中，这一操作完全契合几何辅助线构造中**“集中条件”的核心原则，通过平移将的数量关系、的固定角完成整合，顺利实现了双动点到单动点的转化，大幅简化了问题的分析难度。方法一中虽然没有显性证明点P的运动轨迹，但其本质上通过直角三角形斜边中线定理与线段垂直平分线的性质**，隐性用到了“点P的轨迹恰为线段AB的垂直平分线”这一核心结论，因此解题过程中无需额外赘述轨迹推导；而本题的最值问题本质上仍是经典的将军饮马模型，这类动点线段和最值问题的通用解题逻辑，核心就是先确定动点的运动轨迹，再结合两点之间线段最短的公理完成最值求解。
相较于纯几何推理的方法一，方法二建系法的核心优势在于无需构思复杂的辅助线构造，只需依托图形特征建立坐标系，即可将几何问题转化为代数运算问题，降低了几何推理的思维门槛；其不足之处在于计算量相对较大，对代数运算的准确度与熟练度要求较高。而建系法能够适用的核心前提，是题目图形结构规整、边角定值条件明确，能够通过建立平面直角坐标系，便捷地求出各定点、动点的坐标与相关直线的解析式，从而通过代数运算完成全流程求解。
两种解法分别从几何逻辑转化与代数运算建模两个维度破解了本题的核心难点，也为平行四边形背景下的关联双动点几何综合题，提供了两种差异化的解题思路与破题方向。
