十、真题练习
实数的完备性定理包括：
确界原理（2026.43 实数完备性——确界原理证明其余定理）、
单调有界定理（2026.44 实数完备性——单调有界定理证明其余定理）、
柯西收敛准则（2026.49 实数完备性——柯西收敛准则证明其余定理）、
聚点定理（2026.48 实数完备性——聚点定理证明其余定理）、
致密性定理（2026.47 实数完备性——致密性定理证明其余定理）、
闭区间套定理（2026.45 实数完备性——闭区间套定理证明其余定理）、
和有限覆盖定理（2026.46 实数完备性——有限覆盖定理证明其余定理）．这些定理是相互等价的，前面已经给出了这些等价性定理的证明．
实数理论写到这就基本结束了，一定要注意这些定理的相互推导．掌握了坚实的理论的基础，后续会学的更好．下面给出2026年部分高校的真题．
确界原理定上下，单调有界必有涯。
柯西收敛判进退，聚点致密藏芳华。
区间套来缩一点，有限覆盖罩万家。
六大基石撑实数，完备理论不离它！
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参考文献
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[3]楼红卫．数学分析（上、下册）．北京：高等教育出版社，2023．
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[5]徐森林，薛春华．数学分析（第一、二、三册）．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005．
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[7]杜其奎，陈金如，谢四清等．数学分析精读讲义（上、下册）．北京：科学出版社, 2012．
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[14]部分网络公开资料．
