浙江温州市2026届高考数学自编模拟试卷

2025-2026学年度高三模拟试卷

数学

考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；

注意事项:          1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。          2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。          3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题

1．设集合，若，则（）

A．-3B．C．1D．3

2．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点逆时针旋转90°后得到，若，则（）

A．B．C．D．1

3．“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（）

A．B．C．D．

5．已知数列{a_n}满足，数列的前n项和，则（）

A．B．C．D．

6．图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（）

A．2B．3C．4D．5

7．点 P 在以为焦点的椭圆 上，若 ，且 ，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

8．已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（）

A．B．C．D．

二、多选题

9．已知复数，其中，，为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A．若，则B．是为纯虚数的充要条件

C．若，则D．若，则的最大值为

10．已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（）

A．若，则为等差数列

B．若为等差数列，则公差可能为1

C．若，则当且仅当时，取得最小值

D．若数列是递增数列，则的取值范围是

11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（）

A．B．C．D．

第II卷（非选择题）

三、填空题

12．2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．

13．如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________．

14．在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3次球，每次摸1个球，第次摸球，若摸到黑球，则得元奖金，若摸到黄球，则没有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则___________．

四、解答题

15．如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求；

(2)求平面四边形面积的取值范围．

16．为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）.

根据表格数据得到如图所示的散点图.

(1)根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度；

(2)由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数；

(3)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天.

附：

①样本相关系数；

②回归直线的斜率的最小二乘估计为；

③；

④若，则.

17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.

(1)证明：平面平面；

(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值；

(3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

18．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求的单调区间；

(3)若不等式恒成立，求的最大值.

19．已知点为抛物线的焦点，点在上.

(1)求的方程与点F坐标：

(2)过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点.

（i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线；

（ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值.

参考答案

1．B

【详解】则，因为 ，所以 ，

所以，解得：或.

当时，，，，不符合条件.

当时，，，，符合条件. 综上，.

2．B

【详解】设正方形的网格长度为1，则，

将绕着起点逆时针旋转90°后得到的向量为，

由，可得，即.

3．B

【详解】由，得．

由曲线在处的切线的倾斜角为，可得，解得或．

故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件．

4．D

【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即，所以，当且仅当，即时取等号.

5．C

【详解】因为，所以，

又，则，所以是以3为首项，2为公比的等比数列.

于是，

因为，

所以，

又，故.

6．B

【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，

所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图，则，

则其外接球的半径为,

解得，所以.

7．B

【详解】中，若 则，所以.

因为 ，所以；

因为所以，

因为，所以.

由，得.

所以.

由正弦定理，得，

设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率.

8．C

【详解】

因为为的一条对称轴，所以，，即，

设函数的周期为，由在区间上单调递增，则，即，

所以，即，所以或或或，

当时，，令，解得，

当时，的增区间为，而，满足题意；

当时，，令，解得，

当时，的增区间为，而，不合题意；

当时，，令，解得，

当时，的增区间为，而，不合题意；

当时，，令，解得，

当时，的增区间为，而，不合题意；

综上，，.

当时，，

当时，，即，

所以方程等价于，即，

所以或，解得或，

当时，在区间上，时，，时，，时，；

当时，在区间上，时，，时，，时，；

所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为.

9．AD

【详解】因为，

对于A，若，则，所以，故A正确，

对于B，若为纯虚数，则且，所以是为纯虚数的必要不充分条件，故B错误，

对于C，若，则，所以C错误，

对于D，若，则，即，令，

则，当，

即时，取等号，所以D正确.

10．AC

【详解】由，当时，，

当时，，

若，则，符合，故为等差数列，A正确；

因为当时，，所以若为等差数列，则的公差为2，故B错误；

若，则，当时，，

所以，，，又当时，，

所以当且仅当时取得最小值，故C正确；

当时，，

故数列为递增数列等价于对任意的，恒成立，

即，可得，故D错误．

11．ACD

【详解】对于A，由，可得，

两式相减可得，故A正确；

对于B，由为偶函数，可得，

即，所以的图象关于直线对称，

由，两边求导得，即，

所以是以4为周期的周期函数，

则有，无法推出，故B错误；

对于C，由，两边求导得，

即，令，可得，

又，令，可得，

并联立，解得，故C正确；

对于D，由，当时，，又，可得，

当时，可得，由，即，

所以，令，可得，

所以，令，可得，，，

由A知的周期为4，则，所以，

12．150

【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种：

按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 

组数；按分组：先从个中选个为一组，

剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 

组数，分配到3个不同的盒内，，故装法总数.

13．

【详解】取中点，连接，则， 所以，

以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，

设，，

则，，，，，，

取，解得，则，

设平面与平面的夹角为，则，

14．90

【详解】设随机变量表示甲第次摸球获得的奖金（），则总奖金，

由于不放回摸球时，任意一次摸到黑球的概率都是，（黑球3个，总数10个）

因此，

由期望线性运算知： .

15．(1)；(2).

【详解】（1）由，得，而，则，

则，，在中，由正弦定理得，

所以.

（2）由（1）知，设，

在中，由正弦定理得，

则，又，

因此四边形的面积

因此，即，

所以四边形面积的取值范围是.

16．(1)0.997，与的线性相关程度强；(2)，1.78

(3)该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天.

【详解】（1）解法一：根据散点图直观判断与之间线性相关.

因为，

所以与的线性相关程度强；（也可利用“”或“接近1”判断相关程度强）

解法二：根据散点图直观判断与之间线性相关.因为，

（也可利用“”或“接近1”判断相关程度强）

（2）解法一：设，则，

解法二：设，则，

所以，故时，.

（3）依题意，得，由正态分布性质，可知.

因为，所以.

因为，所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天.

17．(1)证明见解析，(2)，(3)是定值，

【详解】（1）平面平面，平面平面 ，，且平面，则平面，因平面，则，又，则，

因平面，则平面，

又平面，故平面平面.

（2）由平面，平面平面，平面，则

故为的中点，取的中点，连接，，

则平面，因平面，则，

故可以为坐标原点，，所在直线为轴，

过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意，，，，，

则，，.

设平面的法向量为，则，故可取，

设与平面所成角为，则.

（3）由（1）知，平面，因平面，则，即为直角三角形，

又也为直角三角形，则三棱锥外接球的球心为线段的中点.

故点到平面的距离等于点到平面的距离，又等于点到平面的距离的一半.

故，

而，故.

18．(1)，(2)单调递增区间为，单调递减区间为，(3)

【详解】（1）当时，，则，得.又，

故曲线在点处的切线方程为，即.

（2）当时，，得，

令，得或（舍去），

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

即的单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）恒成立，即恒成立，即恒成立.

令，则，

当时，则，函数在上单调递增，

因为，不符合题意；

当时，由，得，则函数在上单调递增，

由，得，则函数在上单调递减，

故的最大值为，由和，解得.

综上可得，的最大值为.

19．(1)；，(2)（i）证明见解析；（ii）

【详解】（1）点在，，，；

（2）（i）过点的直线与抛物线相交于两点，此直线一定存在斜率，

设过点的直线方程为，将代入，得到，

整理得到，

如图，设，则有，

（ii）由（i）知，当为抛物线的切线时，

设，整理得到，

则，解得，