中考一题(2)

题目：定义:若实数a，b，a'，b'满足：a=ka'+2，b=kb'+2(k为常数,k≠0)，则在平面直角坐标系xOy中，称点(a，b)为(a'，b')的“k值友好点”。例如，点(3，0)是点(1，-2)的“1值友好点”.

(1)(-3，5)，(2，3)，(-1，4)，(1，3)四点中，点是点P(1，-1)的“k值友好点”.

(2)设点Q(x，y)是点P(1，-1)的“k值友好点”.

①当PQ=20P时，求k的值;

②若点A的坐标为(6，4)，当∠AQP=45°时，请直接写出点Q的坐标以及k的值.

分析：本题考查了坐标与图形的性质，理解“k值友好点”的定义并根据新定义列出相关方程是解决问题的关键.(1)根据“k值友好点”的定义分别判断即可;但是最快的方法是，设点P(1,-1)的"k值友好点"的坐标为(x,y).x=k+2,y=-k+2,可得x+y=4，所以只要横坐标与纵坐标的为4即可，于是可以很快得出答案。(2)①根据新定义得出点Q的坐标为(k+2，-k+2)，然后根据PQ=20P，列出关于k的方程即可求解;②构造过A，P，Q圆，当AB所对的圆心角为90度时，∠AQP为45度，最后利用圆心到点A与点Q的距离相等建立方程求解。

本题考查了阅读新定义的能力，三角形综合题，圆周角的性质定理，一元二次方程，坐标系中两点的距离，关键是构造圆把所求角转化成圆周角.

解答：（1）根据“k值友好点”的定义：若实数a，b，a'，b'满足：a=ka'+2，b=kb'+2(k为常数,k≠0)，则在平面直角坐标系xOy中，称点(a，b)为(a'，b')的“k值友好点”。

由于是点P(1，-1)的“k值友好点”.

则：a=k+2，b=-k+2

所以：a+b=4.即此点的横坐标与纵坐标之和为4.显然符合条件的只有(1，3)。

（2）由于点Q(x，y)是点P(1，-1)的“k值友好点”

所以x=k+2、y=-k+2.所以Q（k+2，-k+2）。

①由PQ=20P得：

解得：k=1

②本题没有图，为更好的理解题意，探究解法，我画了一个图。

分析：由于∠AQP=45°时，要求点Q的坐标以及k的值，由于定线段AP对着定角∠AQP=45°，是否想到隐圆，若此圆的圆心为B，则点B需满足BA=BP，且∠ABP=90°，显然点B（6、-1）符合，此圆的半径AB=5，点P在优弧AP上，可根据BQ=5建立方程得：

解得：k₁=0、k₂=7，所以Q(2,2)或Q(9,-5)，由于Q(2,2)在劣弧AP上，故舍去，所以得：k=7，Q(9,-5)。

同样点B（1、4）也符合，此圆的半径AB=5，点P在优弧AP上，可根据BQ=5建立方程得：

解得：k₁=2、k₂=-5，所以Q(4,0)或Q(-3,7)，由于Q(4,0)在劣弧AP上，故舍去，所以得：k=-5，Q(-3,7)。

综合得：k=7，Q(9,-5)或者k=-5，Q(-3,7)。

如图：

解题后的反思：由于Q（k+2，-k+2），我在我的公众号中曾发过一篇文章《“点”乎“线”哉——浅谈初中数学一类“点函数”的题目》，同学们看过这篇文章后就知道：1、如果像Q（k+2，-k+2）这样，一个点的横坐标，纵坐标用同一个字母表示的，这个点由于随k的取值不同，有无数个点与之对应，即无数个点组成的一条线。2、这条线的解析式可以通过设横坐标为x，则x= k+2，纵坐标为y，则y=-k+2，然后消去k即得x、y之间的函数关系，我们将两式相加可得：x+y=4，即y=-x+4。所以本题从直观上看，点Q就是直线y=-x+4与两个⊙B的上优弧AP的两个交点。如图：