第十五届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答

(非数学类,2024年04月20日)

一、填空题(本题满分30分,每小题6分)

(1) 设

在  上连续，则  ______。

【解】当  时， 的左、右极限分别为

所以当且仅当  时， 在  处连续，因此 。

(2) 求极限  ______。

【解】利用L'Hospital法则，得

(3) 设函数  是由方程  确定的隐函数，其中  具有连续偏导数，且  ，则  ______。

【解】令 ，则 。根据隐函数的求偏导数公式，得

于是

但由原方程对  的对称性，更简单的方法是利用齐次性。实际上，将原方程两边对  求偏导后，可得

因此答案为 。

(4) 在平面  上，与直线

都相交的直线的单位方向向量为______。

【解】将所给平面的方程分别与这两直线的方程联立求解方程组，得平面与这两直线的交点分别为  和 。因此过该两点的直线的方向向量为

相应的单位方向向量为 。

(5) 定积分  的值等于______。

【解】因为 ，所以

二、(本题满分12分)

已知曲线

其中  具有连续导数，。设当  时，，且曲线  的切线与  轴的交点到切点的距离恒等于切点与点  之间的距离，求函数  的表达式。

【解】利用参数方程求导法则，得

因此曲线  上任意点  处的切线方程为

令 ，可得此切线与  轴的交点为 。根据题设，切点与交点  的距离恒等于切点与点  之间的距离，故有

注意到当  时 ，所以 ，故将上式整理可得

这是关于  的一阶线性微分方程，利用求解公式得

由  得 ，所以

三、(本题满分12分)

求极限：。

【解】令 ，则 ，，且  时，

所以

于是

四、(本题满分12分)

设  是以  为顶点且与曲面

相切的圆锥面，求  与  所围成的空间区域的体积。

【解】易知， 与  的交线位于平面  上。 (2分)

设该平面与 、 围成的空间区域分别记为  与 。由于  是底面圆的半径为  且高为  的圆锥体，所以它的体积为

又  的体积为

因此， 与  所围成的空间区域的体积为

五、(本题满分12分)

设  阶实矩阵  满足 ，且存在  阶可逆实矩阵 ，使得  为对角矩阵。证明： 也为对角矩阵。

【证】设 ，且 ，则 ，。所以  的列向量  为  的对应于特征值  的特征向量。 (4分)

因为 ，所以 ，可知 ，由此说明 。

注意到 ，所以 。 (4分)

又因为

所以

即  是  的属于特征值  的特征向量。因此

六、(本题满分12分)

设数列  定义为：，，当  时，满足

求幂级数  的收敛域。

【解】利用归纳法易证：。 (4分)

因为 ，所以当  时，由比较判别法及  绝对收敛，可知  绝对收敛，即幂级数在区间  内收敛。 (4分)

另一方面，由  可知， 是严格递增数列，且 ，所以 。故当  时， 发散。因此幂级数的收敛域为 。 (4分)

七、(本题满分10分)

(1) 证明：对于任意的实数 ，存在唯一的 ，使得

(2) 设(1)中的方程所确定的隐函数为 ，证明：当 ，且  时，恒有

【证】(1) 记 ，则  在区间  上连续。 当  时，，。 根据介值定理，存在 ，使得 。 (3分)

注意到 （因为  在  内），所以  在  上严格递减。若存在两个不同的  使得 ，则  也有两个零点，由 Rolle 定理，其导数在中间某点为零，矛盾。因此，对任意 ， 在  内有且仅有一个实根。 (2分)

(2) 令 ，其中 。 因为 ，，所以存在 ，使得 。又 （），所以  是  在  内唯一的零点。

(a) 当  或  时，，因而 ； (b) 当  时，。因为  对于  成立（因为  在  处为零且之前为正），特别地 ，解得 。于是

化简可得 。 (5分)

综上所述，原命题得证。