(47)2025年苏州市中考
工业园区一模数学第27题
数学实验：折叠正方形纸片。
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣
的现象，这些现象可以用有关的数学
原理进行分析，解释，所以纸片的
折叠是一种有效的数学学习方式，
如图1， PQ是将正方形纸片ABCD
折叠后得到的一条折痕，其中点P, Q
分别在边AD，CD上.
图1
(1）折叠正方形纸片ABCD，使得PA,
CQ依次落在直线PQ上。请你利用
无刻度直尺和圆规，在图1中分别作出
折痕PE, QF(不写作法，保留作图痕迹),
其中点E, F分别在边BC, AB上．设PE,
QF的交点为 O ，则∠POQ=______°，
图2
(2）在⑴的条件下，折叠正方形纸片
ABCD，使得BC落在直线PQ上．请你
利用无刻度直尺和圆规，在图2中作出
折痕MN(不写作法，保留作图痕迹)，
其中点M, N分别在边AB, CD上。
设MN, PE的交点为G，则点G落在正方
形纸片ABCD的哪一条对称轴上？请说明
理由：
图3
(3）如图3，已知正方形纸片ABCD的
边长为16cm，在⑵的条件下，当点P
为边AD的中点时，则随着点Q位置的
改变，△PAM的周长是否会发生改变？
如果不变，求出△PAM的周长；如果
改变，求出△PAM的周长的最小值，
并求出此时折痕MN的长。
【解析】(1）如图4，
作∠APQ , ∠CQP的角平分线即可，
图4
∵∠APQ=∠D+∠DQP ,
∠CQP=∠D+∠DPQ，
∴∠APQ+∠CQP=∠D+∠DQP
+∠D+∠DPQ
=∠D+180°
=270°,
∵PE, OF分别是∠APQ, ∠CQP
的角平分线，
∴∠OPQ+∠OQP=1/2(∠APQ+∠CQP)
=135°,
∴∠POQ=180°-∠OPQ-∠OQP
=180°-135°
=45°,
故答案为：45，
(2）如图5，延长PQ , BC交于T ，
作∠BTP的角平分线即可，
∵AD//BC ，
∴∠APE=∠PEC ,
∵PE平分∠APQ ，
∴∠APE=∠TPE ，
∴∠PEC=∠TPE ,
∵TG平分∠BTP .
∴∠PTG=∠ETG ,
又∵TG=TG ,
∴△PTG≌△ETG (AAS),
∴点G是PE的中点，
∴点G在边AB，CD的垂直平分线上，
(3）如图6，作∠MPQ的角平分线
交BC于E，连接ME ,
图6
∵MN是折痕，
∴MP=ME，
且MN垂直平分BP ,
∴C△PAM=AP+AM+MP
=AP+AM+ME ,
∵AP为定值
即 AP＝1/2AD=8cm.
∴ 当A，M，E三点共线时，
AM+ME最小，
最小值即为AB的长，
故C△PAM的最小值为24cm，
此时E和B重合，将MN向上平移
使得M与A重合，如图7，
图7
∵∠PM'N'+∠BM'N'=90°,
∠M'BP+∠BM'N'=90°,
∴∠PM'N'=∠M'BP ,
∵M'B=M'D ,
∠BM'P=∠M'DN=90°,
∴△BM'P =△M'DN' (ASA),
∴ BP=M'N'，
即 BP=MN ，
∵BP=√(AB²+AP²)
=√(16²+8²)
=8√5( cm ),
∴MN=8√5cm.
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