(42)2025年重庆市中考
长寿区一模数学第26题
在Rt△ABC中，∠BAC=90°,
AB=AC=5√2，点D是线段BC上一点，
连接AD .
图1
(1）如图1，当CD=7时，
求线段AD的长，
图2
(2）如图2，将线段AD绕点A顺时针
旋转90°得到线段AE，连接DE，点F
是DE的中点，连接BF并延长到点H，
连接DH ，若2∠BHD+∠HBC=90°，
①求证： FH=1/2DE+CD，
图3
②如图3，连接CE，CH，EH，点D
从点B移动到点C的过程中，当BF取得
最小值时，请直接写出△CEH的面积．
【解析】(1）如图4，过点A作AE⊥BC
于点E ,
图4
∵△BAC=90°, AB=AC=5√2,
∴BC=√2AB=10,
AE=BE=CE
=1/2BC=5,
∵CD=7,
∴DE=2,
∴AD=√(AE²+DE²)
=√(5²+2²)
=√29，
(2)①证明：如图5，连接BE，AF ,
由旋转得
AD=AE , ∠DAE=90°,
∵∠BAC=90°,
AB=AC=5√2,
∴∠BAE=∠CAD ，
∴△BAE≌△CAD (SAS),
∴ BE=CD ,
∠ABE=∠ACB
=∠ABC
=45°,
∴∠EBC=90°,
∵点F是DE的中点，
∴ AF=EF=DF=BF ,
在FH上截取FG=EF，连接DG ,
∵∠BFE=∠DFG ,
∴△BFE≌△DFG (SAS),
∴∠FDG=∠FBE
=∠FEB
=∠FGD ,
DG=BE=CD ,
∵2∠BHD+∠HBC=90°,
∠EBH+∠HBC=90°,
∴∠EBH =2∠BHD,
∴∠FGD =2∠BHD,
∵∠FGD=∠BHD+∠GDH,
∴∠BHD=∠GDH ,
∴DG=GH ,
∴GH=CD ，
∵FH=FG+GH ,
∴FH=EF +CD ，
即 FH=1/2DE+CD ，
②解：如图6，连接BE ,
图6
由①得∠EBD =90°,
∴BF=1/2DE ,
∴DE=√2AD,
∴当AD最小时， BF的值最小，
此时 AD⊥BC ，
则 DE⊥AB ,
∴AD=BD=CD
=1/2BC=5,
BF=AF=DF
=EF=√2/2BD
=5√2/2,
∵2∠BHD+∠HBC=90°,
∠ABD=∠BAD=45°,
∴∠BHD=22.5°,
∴∠ADH=22.5°,
∴ AH=AD=5,
∠HDC=67.5°,
∴FH=5√2/2+5，
如图6，过点H作HM⊥BC于点M，
在HM上截取HN=HA ，连接DN ,
∴△AHD≌△NHD (SAS),
∴DN=AD= AH=HN=5,
∵∠HDN=∠DHN=22.5°,
∴∠DNM=45°，
∴DM=MN=√2/2DN==5√2/2 ,
HM=5√2/2+5,
∴S△CEH=S△DEH+S△CDH
-S△CDE
=1/2DE·FH +1/2CD·HM
-1/2CD·BE
=1/2x5√2x(5√2/2+5)
+1/2x5x(5√2/2+5)
-1/2x5x5
=(75√2+50)/4 .
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