2024年安徽省芜湖市无为市中考数学第二次联考试卷

2024年安徽省芜湖市无为市中考数学第二次联考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（4分）﹣7的倒数为（　　）

A．﹣7       B．       C．﹣14       D．14

【解答】解：﹣7的倒数是

故选：B．

2．（4分）如图，这是由5个相同的小立方体组成的几何体，这个几何体的左视图为（　　）

A．       B．       C．       D．

【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：

故选：A．

3．（4分）2023年安徽新建、改造高标准农田442.7万亩，其中数据442.7万用科学记数法表示为（　　）

A．4.427×10⁴       B．4.427×10⁶       C．442.7×10⁴       D．442.7×10⁶

【解答】解：142.7万＝4427000＝4.427×10⁶．

故选：B．

4．（4分）下列算式中，结果等于6a²的是（　　）

A．（﹣3a）²       B．7a³﹣a       C．6a⁶÷a³       D．6a²•a⁰

【解答】解：A、（﹣3a）²＝9a²，故A不符合题意；    

B、7a³与﹣a不能合并，故B不符合题意；

C、6a⁶÷a³＝6a³，故C不符合题意；

D、6a²•a⁰＝6a²•1＝6a²，故D符合题意；

故选：D．

5．（4分）将一副直角三角板作如图所示摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（　　）

A．GE∥MP       B．∠EFN＝150°       C．∠BEF＝60°       D．∠AEG＝∠PMN

【解答】解：A、∵∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，

∴GE∥MP，

故不符合题意；

B、∵∠EFG＝30°，

∴∠EFN＝180°﹣30°＝150°，

故不符合题意；

C、过点F作FH∥AB，如图，

∵AB∥CD，

∴FH∥CD，    

∴∠HFN＝∠MNP＝45°，

∴∠EFN＝150°﹣45°＝105°，

∵FH∥AB，

∴∠BEF＝180°﹣105°＝75°；

故符合题意；

D、∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，

∴∠AEG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，

∴∠AEG＝∠PMN＝45°，

故不符合题意．

故选：C．

6．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．       B．      

C．       D．

【解答】解：解不等式3x﹣1≥2，得：x≥1，

解不等式6﹣x＞x，得：x＜3，

则不等式组的解集为1≤x＜3，

在数轴上表示如下：

．

故选：C．

7．（4分）化简的结果是（　　）    

A．       B．       C．       D．

【解答】解：

＝

＝

＝

＝

故选：C．

8．（4分）《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝．小华要从这四部著作中随机抽取两本学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（　　）

A．       B．       C．       D．

【解答】解：将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为A，B，C，D，

用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：

由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，

所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即AB，BA，

所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是＝

故选：B．    

9．（4分）已知，点D是△ABC的重心，过顶点A作一条直线l平行于BC，连接CD并延长，交AB于点E，交直线l于点F，连接BD并延长交AC于点G，则△AEF的面积与四边形AGDE的面积之比为（　　）

A．1：2       B．3：2       C．2：1       D．4：3

【解答】解：根据题意可知点E是AB的中点，点G是AC的中点，连接EG，

∴AE＝BE，EG是△ABC的中位线．

∵直线l∥BC，

∴∠AFE＝∠ECB，∠FAE＝∠EBC，

∴△AEF≌△BEC，

∴EF＝EC，

∴S_△AEF＝S_△AEC．

∵点G是AC的中点，

∴S_△AEG＝S_△ECG．

∵EG是△ABC的中位线，

∴EG∥BC，，

∴△EDG～△CDB，    

∴

∴S_△CDG＝2S_△EDG，

∴S_△AEG＝S_△ECG＝3S_△EDG，

∴S_△AEF＝6S_{△EDG，S四边形AGDE}＝4S_△EDG，

∴．

故选：B．

10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（　　）

A．7       B．       C．       D．

【解答】解：在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．

∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，

∴PC²＝CM•CA，

∴

∵∠PCM＝∠ACP，

∴△PCM﹣△ACP，

∴

∴

∴    

∵PM+PB≥BM，

在Rt△BCM中，

∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝6，

∴BM＝＝．

∴AP+BP≥．

 则AP+BP的最小值为．

故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）函数中自变量x的取值范围是 　x≤　．

【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，

解得：x≤

故答案为：x≤．

12．（5分）因式分解：3x²﹣6x+3＝　3（x﹣1）²　．

【解答】解：3x²﹣6x+3

＝3（x²﹣2x+1）

＝3（x﹣1）^2，

故答案为：3（x﹣1）²．

13．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合．若∠CEF＝50°，则∠AOF的度数是 　105°　．    

【解答】解：如图，连接OB，

∵点C与点O恰好重合，

∴OE＝CE，∠CEF＝∠OEF＝50°，OF＝FC，

∴∠OCE＝∠COE＝40°

∵AB＝AC，AO平分∠BAC，

∴AO是BC的垂直平分线，∠OAB＝∠OAC，

又∵DO是AB的垂直平分线，

∴点O是△ABC的外心，

∴AO＝BO＝CO，

∴∠OBC＝∠OCB＝40°，∠OAB＝∠OBA＝∠OAC＝∠OCA，

∵∠OAB+∠OAC+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB＝180°

∴∠OAB＝∠OBA＝∠OAC＝∠OCA＝25°，

∵OF＝FC

∴∠FOC＝∠ACO＝25°

在△AOC中，∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝130°

∴∠AOF＝∠AOC﹣∠FOC＝130°﹣25°＝105°    

故答案为：105°

14．（5分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．

（1）反比例函数y＝的解析式为 　y＝　；

（2）若AB＝BD，点D的坐标为 　（8，）　．

【解答】解：解法1：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），

∴k＝12×5＝60，

∴反比例函数的解析式为y＝

故答案为：y＝；

（2）如图，连接AD并延长交x轴于E，

由A（5，12），可得AO＝＝13，

∴BC＝13，

∵AB∥CE，AB＝BD，

∴∠CED＝∠BAD＝∠ADB＝∠CDE，

∴CD＝CE，

∴AB+CE＝BD+CD＝13，即OC+CE＝13，

∴OE＝13，    

∴E（13，0），

由A（5，12），E（13，0），可得AE的解析式为y＝﹣x+

解方程组，可得

∴点D的坐标为（8，）．

故答案为：（8，）；

解法2：如图，过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，

∵点A（5，12），

∴OG＝5，AG＝12，AO＝13＝BC，

∵∠AOG＝∠DCH，∠AGO＝∠DHC＝90°，

∴△AOG∽△DCH，

∴可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，

∴BD＝13﹣13k，

∴OC＝AB＝13﹣13k，

∴OH＝13﹣13k+5k＝13﹣8k，

∴D（13﹣8k，12k），

∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12）和点D，

∴5×12＝（13﹣8k）×12k，

解得k＝

∴D的坐标为（8，）．

故答案为（8，）．    

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算：．

【解答】解：

＝1+4﹣3﹣2

＝0．

16．（8分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（3，﹣1），C（1，﹣1）．

（1）将△ABC向左平移3个单位得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；

（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂；

（3）求（2）中点A经过的路径长．

【解答】解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所求．

（2）如图，△A₂B₂C₂即为所求．

（3）由勾股定理得，OA＝＝

∴点A经过的路径长为＝．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）某快餐店有线上和线下两种消费方式．2022年，该快餐店的年收入总额达50万元，线上收入与线下收入的比是2：3.2023年，该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广的力度，因而收入总额明显提升．与2022年相比，年收入总额增长了20%，其中线上收入增长了35%．求该快餐店2023年的线下收入的增长率．

【解答】解：设2022年线上收入2x万元，线下收入3x万元，

则2x+3x＝50，解得：x＝10，

则2x＝20，3x＝30，

即：2022年线上收入20万元，线下收入30万元，

设该快餐店2023年的线下收入的增长率为a，

则20×（1+35%）+30（1+a）＝50×（1+20%），解得：a＝10%，

答：该快餐店2023年的线下收入的增长率为10%．

18．（8分）观察以下等式：    

第1个等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，

第2个等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，

第3个等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，

第4个等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，

…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：　5×（30+4）+4×26＝6×29+100　；

（2）写出你猜想的第n个等式：　n[n（n+1）+4]+4（n²+1]＝（n+1）（n²+4）+4n²　（用含n的代数式表示），并证明．

【解答】解：（1）根据已给四个等式，可得第5个等式为：5（30+4）+4×26＝6×29+100；

（2）等式左边由两部分组成，第一部分是序号与比序号大1的数的积再加上4的和的序号倍，第二部分为序号的平方加1的和的4倍，可表示为：n[n（n+1）+4]+4（n²+1]，等式右边也有两部分组成，第一部分为比序号大1的数乘以序号的平方与4的和，第二部分为序号平方的4倍，可表示为：（n+1）（n²+4）+4n^2，

因此猜想第n个等式为：n[n（n+1）+4]+4（n²+1]＝（n+1）（n²+4）+4n^2，

证明：左边＝n[n²+n+4]+4n²+4

＝n³+n²+4n+4n²+4

＝n³+5n²+4n+4，

右边＝n³+4n+n²+4+4n²

＝n³+5n²+4n+4，

∵左边＝右边，

∴n[n（n+1）+4]+4（n²+1]＝（n+1）（n²+4）+4n²．    

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山AB的山腰CN上有一个平台CD长为45m，从点C看山顶A的仰角为63°，山坡DE的坡度为i＝1：2.4，该地准备利用斜坡DE建设一个滑雪场，且DE的长度为390m，若点D到地面BE的垂线段与BN构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山AB的高度．（精确到整数，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）

【解答】解：∵山坡DE的坡度为i＝1：2.4，

∴

设DM＝5x m，则ME＝12x m，

在Rt△DME中，由勾股定理DM²+ME²＝DE^2，

∴（5x）²+（12x）²＝390^2，

解得x＝30或x＝﹣30（舍去），

∴DM＝30×5＝150（m），

∵四边形NBMD为正方形，

∴BN＝DM＝DN＝150m，

∴CN＝DN﹣CD＝150﹣45＝105（m），

在Rt△ANC中，∠ACN＝63°，

∴AN＝NC•tan63°＝205.8m，    

∴AB＝AN+BN＝355.8≈356（m），

答：小山AB的高度约为356m．

20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点E作⊙O的切线与AB的延长线交于点F，且∠AFE＝∠ABC．

（1）求证：∠CAB＝2∠EAB；

（2）若BF＝1，，求BC的长．

【解答】（1）证明：连接OE，则∠EOF＝2∠EAB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90°，

∵EF与⊙O相切于点E，

∴EF⊥OE，

∴∠OEF＝∠C＝90°，

∵∠AFE＝∠ABC，

∴△OFE∽△ABC，

∴∠EOF＝∠CAB，

∴∠CAB＝2∠EAB．

（2）解：∵∠OEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠ABC，

∴＝sin∠ABC＝sin∠AFE＝＝

∴OE＝OF，AC＝AB，    

∵BF＝1，OE＝OB，

∴OB＝（OB+1），

解得OB＝4，

∴AB＝2×4＝8，

∴BC＝＝＝AB＝×8＝

∴BC的长是．

六、（本题满分12分）

21．（12分）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

（1）根据图示计算出a、b、c的值；

（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？

（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s_初中²，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．    

【解答】解：（1）初中5名选手的平均分，众数b＝85，

高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c＝80；

（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，

故初中部决赛成绩较好；

（3）

∵

∴初中代表队选手成绩比较稳定．

七、（本题满分12分）

22．（12分）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价y（元）与月份x的函数关系如图所示，该服装每件的进价z（元）与月份x的关系为．

（1）①求y与x之间的函数关系式；

②第3个月每件服装的利润是多少？

（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？    

【解答】解：（1）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．

当0≤x≤5时，将（0，100），（5，150）代入y＝kx+b得：

解得：

∴此时y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；

当5＜x≤10时，y＝150．

综上所述，y与x之间的函数关系式为y＝；

②当x＝3时，y＝10×3+100＝130，z＝﹣×3²+12×3+60＝81，

∴y﹣z＝130﹣81＝49，

∴第3个月每件服装的利润是49元；

（2）设每个月的利润为w元，则w＝120（y﹣z），

∴w＝．

当0≤x≤5时，w＝200x²﹣240x+4800，

即w＝200（x﹣0.6）²+4728，

∵200＞0，

∴当x＝5时，w取得最大值，最大值＝200×（5﹣0.6）²+4728＝8600；

当5＜x≤10时，w＝200x²﹣1440x+10800，

即w＝200（x﹣3.6）²+8208，

∵200＞0，    

∴当x＝10时，w取得最大值，最大值＝200×（10﹣3.6）²+8208＝16400．

∵8600＜16400，

∴第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．

八、（本题满分14分）

23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，过点E作EF⊥AE，EF交AB或AB的延长线于点F．

（1）求证：AE²＝DE•AF；

（2）若EF交BC的中点于点G．

（Ⅰ）如图2，线段AB，AE，CE能围成直角三角形吗？若能，请证明；若不能，请说明理由；

（Ⅱ）如图3，点P，M，N分别是AE，EG，AB的中点，若AB＝6，AD＝4，DE＞CE，求PM+PN的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，∠D＝90°，

∴∠DEA＝∠EAF，

又∵EF⊥AE，

∴∠AEF＝90°，

∴∠AEF＝∠D，

∴△ADE∽△FEA，

∴

∴AE²＝DE•AF；    

（2）解：线段AB，AE，CE能围成直角三角形．

证明：∵G为BC的中点，

∴CG＝BG，

∵∠C＝∠GBF＝90°，∠EGC＝∠BGF，

∴△ECG≌△FBG（ASA），

∴CE＝BF，

∵AE²＝DE•AF，

∴AE²＝（DC﹣CE）（AB+BF）

＝（AB﹣CE）（AB+CE）

＝AB²﹣CE^2，

∴AE²+CE²＝AB^2，

∴线段AB，AE，CE能围成直角三角形；

（3）解：连接AG，BE，

∵P，M为AE，EG的中点，

∴PM为△ACE的中位线，

∴PM＝AG，

∵AB＝6，BG＝BC＝2，

∴AG＝＝＝2

∴PM＝＝

设CE＝x，    

由（2）知CE＝BF＝x，

∴AF＝AB+BF＝6+x，

∵AE²＝DE•AF，

∴AE²＝（6+x）（6﹣x），

∵AE²＝AD²+DE^2，

∴4²+（6﹣x）²＝（6+x）（6﹣x），

∴x＝2或x＝4，

∵DE＞CE，

∴CE＝2，

∴BE＝＝2

同理可知PN是△ABE的中位线，

∴PN＝

∴PM+PN＝．

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